équations (3) on pourra tirer des quantités en séries développées suivant les puissances entières de et de la ième quantité par exemple de
Dans la ième équation (3), substituons les valeurs de
ainsi trouvées. Le premier membre de cette ième équation, se trouvera ainsi développé suivant les puissances de et de écrivons-la sous la forme
J’observe d’abord que doit être divisible par car la droite (4) doit faire partie de la courbe (3).
D’autre part, la dérivée de par rapport à doit s’annuler pour puisque le jacobien s’annule. Pour ne contient donc pas de terme du premier degré ; supposons qu’il ne contienne pas non plus de termes du deuxième, …, du ième degré, mais qu’il contienne un terme de degré
Enfin, comme la dérivée du jacobien par rapport à ne s’annule pas, nous aurons un terme en
Je puis donc écrire
étant un ensemble de termes contenant en facteur ou et et étant des coefficients constants qui ne sont pas nuls.
On voit qu’on peut tirer de là en série procédant suivant les puissances de et la question est de savoir si cette série est réelle.
Si est pair, ou si, étant impair, et sont de signes contraires, la série est réelle et il existe des solutions périodiques du deuxième genre.
Si est impair et si et sont de signes contraires, la série est imaginaire et il n’y a pas de solution périodique du deuxième genre.
Je suppose maintenant que non seulement le jacobien s’annule pour mais qu’il en soit de même de tous ses mineurs du premier, du second, etc., du ième ordre. Je suppose
