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CHAPITRE XXVII.

où $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ sont deux constantes et où $t'$ est une fonction de $t\,;$ ces trois identités devraient subsister quel que soit $t.$

En différentiant, on aura

${\frac {d\Phi _{i}}{dt}}={\frac {d\Phi _{i}}{dt'}}{\frac {dt'}{dt}}\cdot$

Mais, en vertu des équations (1), on aura

${\frac {d\Phi _{1}}{dt}}=\mathrm {X} \left[\Phi _{1}(t,\mathrm {A} ),\,\Phi _{2}(t,\mathrm {A} ),\,\Phi _{3}(t,\mathrm {A} )\right]$

et de même

${\frac {d\Phi _{1}}{dt'}}=\mathrm {X} \left[\Phi _{1}(t',\mathrm {B} ),\,\Phi _{2}(t',\mathrm {B} ),\,\Phi _{3}(t',\mathrm {B} )\right],$

d’où

${\begin{aligned}{\frac {d\Phi _{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{i}}{dt'}},&{\frac {dt'}{dt}}&=1,\end{aligned}}$

d’où

$t'=t+h,$

$h$ étant une constante.

On tirerait de là

$\Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)=\Phi _{i}^{0}(t+h)+\mathrm {C} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t+h)+\ldots ,$

où

$\mathrm {C} =\mathrm {B} e^{\alpha h}.$

L’identité devant être vraie pour $t=-\infty ,$ d’où

$\mathrm {A} e^{\alpha t}=\mathrm {C} e^{\alpha t}=0,$

il vient

$\Phi _{i}^{0}(t)=\Phi _{i}^{0}(t+h),$

d’où $h=o,$ d’où

$\Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\ldots =\Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {C} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\ldots$

ou

$\mathrm {A} \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)+\ldots =\mathrm {C} \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {C} ^{2}e^{\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)+\ldots$

ou, en faisant encore $t=-\infty ,$

$\mathrm {A} =\mathrm {C} =\mathrm {B} .$

Les deux valeurs $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant égales, il n’y a pas de Ligne double.

C. Q. F. D.