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CHAPITRE XXVII.
où
et
sont deux constantes et où
est une fonction de
ces
trois identités devraient subsister quel que soit ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
En différentiant, on aura
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{i}}{dt}}={\frac {d\Phi _{i}}{dt'}}{\frac {dt'}{dt}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfdd9c2bb1562fbba2ecf24349eade464c6163d)
Mais, en vertu des équations (1), on aura
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{1}}{dt}}=\mathrm {X} \left[\Phi _{1}(t,\mathrm {A} ),\,\Phi _{2}(t,\mathrm {A} ),\,\Phi _{3}(t,\mathrm {A} )\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5353a398442289ddc884d135c3eb2bf6c0d2c3f3)
et de même
![{\displaystyle {\frac {d\Phi _{1}}{dt'}}=\mathrm {X} \left[\Phi _{1}(t',\mathrm {B} ),\,\Phi _{2}(t',\mathrm {B} ),\,\Phi _{3}(t',\mathrm {B} )\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab7d71826c1eda8ef4cb04ef0c6efa2db962b33d)
d’où
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\Phi _{i}}{dt}}&={\frac {d\Phi _{i}}{dt'}},&{\frac {dt'}{dt}}&=1,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e26c1b798da610f2a2640c22a41b347cc1389b)
d’où
![{\displaystyle t'=t+h,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf77e2da17d8c41743140b1cc1eae0e6c07d0a96)
étant une constante.
On tirerait de là
![{\displaystyle \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{2\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)=\Phi _{i}^{0}(t+h)+\mathrm {C} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t+h)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bf92252744628545aeeaa247a8c97c1321d9b01)
où
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {B} e^{\alpha h}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/424629613380a1b9703a2c60414b5c39c6273b04)
L’identité devant être vraie pour
d’où
![{\displaystyle \mathrm {A} e^{\alpha t}=\mathrm {C} e^{\alpha t}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2fddd624f45d4e7a1fee166c674d845e60dc032)
il vient
![{\displaystyle \Phi _{i}^{0}(t)=\Phi _{i}^{0}(t+h),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/950a4004f15ac028f127f4e38cd612cee17d6736)
d’où
d’où
![{\displaystyle \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\ldots =\Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {C} e^{\alpha t}\Phi _{i}^{1}(t)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cb71ccdd149124e75566111be69db727b9ad4f)
ou
![{\displaystyle \mathrm {A} \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {A} ^{2}e^{\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)+\ldots =\mathrm {C} \Phi _{i}^{0}(t)+\mathrm {C} ^{2}e^{\alpha t}\Phi _{i}^{2}(t)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a8ea50010d5ffe4425559f585c45405e6f4fa19)
ou, en faisant encore ![{\displaystyle t=-\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f7e85720a04d37217799a808572bb370c5d6e3)
![{\displaystyle \mathrm {A} =\mathrm {C} =\mathrm {B} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bebad27479e7d912f9c9fb407afe030a2e4fe41)
Les deux valeurs
et
étant égales, il n’y a pas de Ligne double.
C. Q. F. D.