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THÉORIE DES CONSÉQUENTS.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Cette nouvelle hypothèse doit donc être rejetée.

En résumé les deux arcs $\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}$ se couperont toutes les fois que pour une raison ou pour une autre les hypothèses 2^o et 4^o devront être rejetées.

Il resterait à examiner le cas où les points $\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{0},$ $\mathrm {B} _{1},$ $\mathrm {B} _{0}$ se suivraient sur $\mathrm {K}$ dans un ordre différent. Les ordres $\mathrm {B} _{1}\mathrm {B} _{0}\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{0},$ $\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1},$ $\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}$ ne diffèrent pas essentiellement de celui que nous venons d’étudier.

Les ordres tels que $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{1}\mathrm {B} _{0}\mathrm {A} _{0},$ $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}\mathrm {A} _{0},$ $\mathrm {A} _{1}\mathrm {B} _{0}\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} _{1},\,\ldots$ ne se présenteront pas dans les applications qui vont suivre ; nous supposerons toujours en effet que, si $\mu$ est très petit, les distances $\mathrm {A} _{0}\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}$ sont très petites par rapport à la longueur des arcs $\mathrm {A} _{0}\mathrm {MB} _{0}$ ou $\mathrm {A} _{1}\mathrm {MB} _{1}.$

Il reste l’ordre $\mathrm {A} _{1}\mathrm {A} _{0}\mathrm {B} _{0}\mathrm {B} _{1}$ ou les ordres équivalents ; nous n’en parlerons pas non plus ; il est clair que, s’il se présente, il y aura sur l’arc $\mathrm {A} _{0}\mathrm {MB} _{0}$ un point qui sera son propre conséquent.

309.Supposons par exemple que les équations (1) admettent une solution périodique

(6)

${\begin{aligned}x&=\varphi _{1}(t),&y&=\varphi _{2}(t),&z&=\varphi _{3}(t)\end{aligned}}$

et des solutions asymptotiques

(7)

${\begin{aligned}x&=\Phi _{1}(t),&y&=\Phi _{2}(t),&z&=\Phi _{3}(t).\end{aligned}}$

Supposons que les équations (1) dépendent d’un paramètre très petit $\mu$ et que $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ soient développables suivant les puissances de ce paramètre.

Supposons que, pour $\mu =0,$ les solutions asymptotiques (7) se réduisent à des solutions périodiques. Voici comment cela pourra se faire. Nous avons dit que les $\Phi _{i}$ sont développables suivant les puissances de $\mathrm {A} e^{\alpha t},$ les coefficients étant eux-mêmes des fonctions périodiques de $t.$ Mais l’exposant $\alpha$ dépend de $\mu \,;$ supposons qu’il s’annule pour $\mu =0\,;$ alors pour $\mu =0$ les fonctions $\Phi _{i}$ deviendront des fonctions périodiques de $t$ et les solutions (7) se réduiront à des solutions périodiques.

La surface asymptotique va couper le demi-plan suivant une