l’arc qui joint un point quelconque de la courbe à son premier conséquent ; nous supposerons qu’il n’en est pas ainsi ; et, en effet, cette circonstance ne se présentera dans aucune des applications que j’ai en vue ; elle ne s’appliquera pas, en particulier, dans le cas de la courbe invariante engendrée par une surface asymptotique ainsi que je l’ai expliqué à la fin du numéro précédent. Il est aisé de constater, en effet, que la surface asymptotique ne présente pas de ligne double si l’on se borne à la portion de cette surface qui correspond aux petites valeurs des quantités que j’ai appelées plus haut
D’autre part, la droite n’a pas de point double, et il doit en être de même de sa conséquente En résumé, nous supposerons que les quatre côtés de notre quadrilatère n’ont pas de point double.
3o L’arc coupe l’arc — (Ce cas contient comme cas particulier celui où la courbe K serait fermée.) Nos courbes présentent alors l’aspect de la fig. 3.
Fig. 3.
4o L’arc coupe son conséquent — Nos courbes présenteraient alors l’aspect de la fig. 4.
Il y a des cas où l’hypothèse doit être rejetée. Supposons, par exemple, que dépendent d’un paramètre que pour la courbe soit fermée et que chacun de ses points soit son propre conséquent, de telle façon que pour les quatre sommets du quadrilatère se confondent.
Alors les quatre distances seront des infiniment petits si est l’infiniment petit principal. Supposons
