173
STABILITÉ À LA POISSON.
Écrivons les équations du mouvement sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&=\mathrm {X} _{i},&{\frac {dx_{i}'}{dt}}&=\mathrm {Y} _{i},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ba16a7dec9f39665db1bb16133346afbc37d71)
les
et
les étant des fonctions des
et des ![{\displaystyle x_{i}'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0431991b3251ca808bb14e43a221a94c47586d7e)
Soit alors
![{\displaystyle \mathrm {M} ={\frac {1}{(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\ldots +x_{6}^{2}+1)^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea641326dbd809b97adbf84e991215fbf0835d58)
et écrivons les équations nouvelles
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt'}}&={\frac {\mathrm {X} _{i}}{\mathrm {M} }},&{\frac {dx_{i}'}{dt'}}&={\frac {\mathrm {Y} _{i}}{\,}}{\mathrm {M} }\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c24777d969ceeccc943729aa231dac623bbc20aa)
Les équations nouvelles admettront comme invariant intégral
![{\displaystyle \int \mathrm {M} \,dx_{1}\,\ldots \,dx6\,dx_{1}'\,\ldots \,dx_{6}'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4a0a8b7d0abff096fb9c60777494ad3c17730f)
ou bien
![{\displaystyle \int \left(\mathrm {V} +h-{\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{2\mathrm {I} }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{6}}{\sqrt {\mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{2}\mathrm {I} _{3}}}}\mathrm {M} \cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad94b951ed617ddb8393e95c4d2ae1092b2bce1f)
Or cette intégrale est finie.
Si donc la situation initiale du système est telle que le point
de l’espace à 12 dimensions dont les coordonnées sont
![{\displaystyle x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots ,\quad x_{6},\quad x_{1}',\quad x_{2}',\quad \ldots ,\quad x_{6}',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aac154655f6cf4b61c72a333ee15115908b7b4d)
que ce point
dis-je, soit à l’origine du temps à l’intérieur d’un
certain domaine
la trajectoire de ce point et ses prolongements
analytiques, tels que nous les avons définis à la fin du
no 302, recouperont une infinité de fois ce domaine
à moins
que la situation initiale du système ne soit exceptionnelle, au sens
donné à ce mot au no 296.
304.Il semble d’abord que cette conséquence ne puisse intéresser
que l’analyste et n’ait aucune signification physique. Mais
cette manière de voir ne serait pas tout à fait justifiée.
On peut conclure, en effet, que si le système ne repasse pas une
infinité de fois aussi près que l’on veut de sa position primitive,