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STABILITÉ À LA POISSON.
On a d’ailleurs
ce qui veut dire que les équations
(1 bis)
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admettent l’invariant intégral
(2 bis)
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Supposons que la fonction soit toujours positive et qu’elle
tende vers zéro quand le point s’éloigne indéfiniment,
et cela assez rapidement pour que l’intégrale (2 bis)
étendue au domaine soit finie.
Les conclusions des nos 297 et suivants sont applicables aux
équations (1 bis). Ces équations (1 bis) jouissent donc de la stabilité
à la Poisson. Comme, d’ailleurs, elles définissent les mêmes
trajectoires que les équations (1), on peut dire, dans un certain
sens, que les trajectoires du point jouissent aussi de la stabilité
à la Poisson.
Je précise ma pensée.
Nous avons
(3)
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Comme est essentiellement positif, croîtra avec mais,
comme peut s’annuler, il peut arriver que l’intégrale du second
membre de (3) soit infinie.
Supposons, par exemple, que s’annule pour alors
sera infini pour
ou pour
Considérons la trajectoire du point nous pouvons la diviser
en deux parties, la première que parcourt depuis l’époque
jusqu’à l’époque la seconde que parcourt
depuis l’époque jusqu’à
Le point décrira la même trajectoire que mais il n’en
décrira que la partie car il ne pourrait atteindre la partie
qu’au bout d’un temps infini.