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STABILITÉ À LA POISSON.

Mais cette inégalité, comme l’inégalité (2) elle-même, peut être satisfaite par des valeurs des $x_{i}$ aussi grandes que l’on veut ; car, pour des valeurs très grandes des $x_{i},$ le moment d’inertie $\mathrm {I}$ est très grand et, le second membre étant très voisin de zéro, on retombe sur l’inégalité (2).

Nous devons donc conclure que les considérations du numéro précédent ne sont pas applicables.

Pour mieux nous en rendre compte, calculons l’invariant intégral

$\int dx_{1}'\,dx_{2}'\,\ldots \,dx_{6}'\,dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{6},$

en l’étendant à un domaine défini par les inégalités suivantes

(7)

$\left\{{\begin{alignedat}{7}h&{}-{}&\varepsilon &{}<{}&\mathrm {T-V} &{}<{}&h&+\varepsilon ,\\a_{1}&{}-{}&\varepsilon _{1}&{}<&\mathrm {K} _{1}&{}<{}&a_{1}&+\varepsilon _{1},\\a_{2}&{}-{}&\varepsilon _{2}&{}<&\mathrm {K} _{2}&{}<{}&a_{2}&+\varepsilon _{2},\\a_{3}&{}-{}&\varepsilon _{3}&{}<&\mathrm {K} _{3}&{}<{}&a_{3}&+\varepsilon _{3}.\end{alignedat}}\right.$

Les $\varepsilon$ sont des quantités très petites ; les $\mathrm {K} _{i}$ sont les premiers membres des égalités (5), et $\mathrm {T}$ est la force vive réduite, c’est-à-dire le premier membre de (6).

Intégrons d’abord par rapport aux $x_{i}',$ nous trouverons

${\frac {b\,4\pi }{(\beta \beta ')^{\frac {3}{2}}}}\varepsilon \varepsilon _{1}\varepsilon _{2}\varepsilon _{3}\int \left(\mathrm {V} +h-{\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{2\mathrm {I} }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {dx_{1}\,dx_{2}\,\ldots \,dx_{6}}{\sqrt {\mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{2}\mathrm {I} _{3}}}}$

$\mathrm {I} _{1},\,\mathrm {I} _{2}$ et $\mathrm {I} _{3}$ représentant les trois moments d’inertie principaux du système.

Je remarque en passant que, si l’on choisit les axes de coordonnées parallèles aux axes principaux d’inertie, on aura, d’après la définition de $\mathrm {I} \,:$

${\frac {a_{1}^{2}}{\mathrm {I} _{1}}}+{\frac {a_{2}^{2}}{\mathrm {I} _{2}}}+{\frac {a_{3}^{2}}{\mathrm {I} _{3}}}={\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{\mathrm {I} }}\cdot$

On voit que l’intégrale, qui est étendue à tous les systèmes de valeurs tels que

$\mathrm {V} +h-{\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}{2\mathrm {I} }}>0,$

est infinie, bien que le dénominateur ${\sqrt {\mathrm {I} _{1}\mathrm {I} _{2}\mathrm {I} _{3}}}$ devienne infini quand l’un des points $x_{1},\,x_{2},\,x_{3}$ ou $x_{4},\,x_{5},\,x_{6}$ s’éloigne indéfi-