la somme de la série tend vers zéro. Donc est infiniment petit.
De même, est infiniment petite la probabilité pour que notre molécule ne traverse pas une infinité de fois entre les époques o et
Les mêmes résultats subsistent quand, au lieu de prendre on fait tout autre choix pour la fonction
L’égalité (1) doit alors être remplacée par la suivante
où et désignent l’intégrale étendue respectivement aux régions et
Je suppose que la fonction est continue ; par conséquent elle ne devient pas infinie ; et je puis lui assigner une limite supérieure on aura alors
et puisque
on en déduira
Quelque petit que soit quelque grand que soit on pourra toujours prendre assez grand pour que le second membre de cette inégalité soit aussi petit que l’on veut. Nous retombons donc sur les mêmes résultats qui sont ainsi indépendants du choix de la fonction
En résumé, les molécules qui ne traversent qu’un nombre fini de fois sont exceptionnelles au même titre que les nombres commensurables qui ne sont qu’une exception dans la série des nombres, pendant que les nombres incommensurables sont la règle.
Si donc Poisson a cru pouvoir répondre affirmativement à la question de la stabilité telle qu’il l’avait posée, bien qu’il eût exclu les cas où le rapport des moyens mouvements est commensurable, nous aurons de même le droit de regarder comme démontrée la stabilité telle que nous la définissons, bien que nous soyons forcés d’exclure les molécules exceptionnelles dont nous venons de parler.
