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CHAPITRE XXVI.

une molécule se trouve à l’intérieur d’un certain volume est proportionnelle à l’intégrale

$\mathrm {J} =\int \varphi (x,y,z)\,dx\,dy\,dz$

étendue à ce volume. Elle est égale, par conséquent, à l’intégrale $\mathrm {J}$ divisée par la même intégrale étendue au vase $\mathrm {V}$ tout entier.

Nous pouvons choisir arbitrairement la fonction $\varphi ,$ et la probabilité se trouve ainsi complètement définie ; comme la trajectoire d’une molécule ne dépend que de sa position initiale, la probabilité pour qu’une molécule se comporte de telle ou telle manière est une quantité entièrement définie dès qu’on a choisi la fonction $\varphi .$

Cela posé, je prendrai d’abord tout simplement $\varphi =1,$ et je chercherai la probabilité $p$ pour qu’une molécule ne traverse pas plus de $k$ fois la région $\mathrm {U} _{0}$ entre l’époque $-n\tau$ et l’époque zéro.

Soit donc $\sigma _{0}$ une région faisant partie de $\mathrm {U} _{0}$ et définie par la propriété suivante. Toute molécule qui à l’origine du temps sera à l’intérieur de $\sigma _{0}$ ne traversera pas $\mathrm {U} _{0}$ plus de $k$ fois entre les époques $-n\tau$ et 0.

Si nous admettons que notre molécule est à l’intérieur de $\mathrm {U} _{0}$ à l’époque zéro, la probabilité cherchée sera

(1)

$p={\frac {\sigma _{0}}{\mathrm {U} _{0}}}\cdot$

Soient

$\sigma _{1},\quad \sigma _{2},\quad \ldots ,\quad \sigma _{n},$

les $n$ premiers conséquents de $\sigma _{0}.$ Il ne pourra pas y avoir de région commune à plus de $k$ des $n+1$ régions

$\sigma _{0},\quad \sigma _{1},\quad \sigma _{2},\quad \ldots ,\quad \sigma _{n},$

sans quoi, toute molécule qui, à l’époque zéro, se trouverait dans cette région commune traverserait $\sigma _{0}$ et, par conséquent, $\mathrm {U} _{0}$ plus de $k$ fois entre les époques $-n\tau$ et 0.

On a donc

$(n+1)\sigma _{0}<k\mathrm {V} ,1$

et, par conséquent,

$p<{\frac {k\mathrm {V} }{(n+1)\mathrm {U} _{0}}}\cdot$