mais des termes de la forme
La valeur du grand axe éprouve alors de continuelles oscillations, mais rien ne prouve que l’amplitude de ces oscillations ne croît pas indéfiniment avec le temps.
Nous pouvons affirmer que le système repassera toujours une infinité de fois aussi près qu’on voudra de sa situation initiale ; mais non qu’il ne s’en éloignera pas beaucoup.
Le mot de stabilité n’a donc pas le même sens pour Lagrange et pour Poisson.
Encore convient-il d’observer que les théorèmes de Lagrange et de Poisson comportent une importante exception : ils ne sont plus vrais si le rapport des moyens mouvements est commensurable.
Les deux géomètres n’en concluent pas moins à la stabilité parce qu’il est infiniment peu probable que ce rapport soit exactement commensurable.
Il y a donc lieu de définir exactement la stabilité.
Pour qu’il y ait stabilité complète dans le problème des trois corps, il faut trois conditions :
1o Qu’aucun des trois corps ne puisse s’éloigner indéfiniment ;
2o Que deux des corps ne puissent se choquer et que la distance de ces deux corps ne puisse descendre au-dessous d’une certaine limite ;
3o Que le système vienne repasser une infinité de fois aussi près que l’on veut de sa situation initiale.
Si la troisième condition est seule remplie, sans que l’on sache si les deux premières le sont, je dirai qu’il y a seulement stabilité à la Poisson.
Il y a un cas où, depuis longtemps, on a démontré que la première condition est remplie. Nous allons voir que la troisième l’est également. Quant à la deuxième, je ne puis rien dire.
Ce cas est celui du problème du no 9, où l’on suppose que les trois corps se meuvent dans un même plan, que la masse du troisième est nulle, que les deux premiers décrivent des circonférences concentriques autour de leur centre de gravité commun. C’est ce que j’appellerai, pour abréger, le problème restreint.
