Pour que la solution soit périodique, il faut et il suffit que le rapport soit commensurable. Mettons ce rapport sous la forme d’une fraction réduite à sa plus simple expression et soit son dénominateur. On voit que l’équation (4 bis) admettra solutions distinctes.
Les équations (2 bis), (3 bis) et (4 bis) ne devraient admettre qu’un nombre limité de solutions quelles que soient les constantes et Or je puis choisir de telle sorte que ait telle valeur que je veux et, par conséquent, que soit aussi grand que je veux.
Cela ne peut arriver que si et par conséquent si est identiquement nul.
Par conséquent le discriminant de la forme est identiquement nul et cette forme doit se réduire à une forme binaire.
On démontrerait de la même manière qu’au sens du no 257 il ne peut pas arriver que toutes les solutions périodiques soient singulières.
La démonstration n’est ainsi donnée que dans un cas très particulier, mais on peut entrevoir la possibilité d’une extension au cas général.
289.La forme regardée comme forme binaire, doit se réduire à
pour un point d’une solution périodique ; la forme binaire sera donc définie (c’est-à-dire égale à la somme de deux carrés) si la solution périodique est stable, c’est-à-dire si les exposants caractéristiques sont imaginaires ; elle sera indéfinie (c’est-à-dire égale à la différence de deux carrés) si la solution périodique est instable, c’est-à-dire si les exposants caractéristiques sont réels.
Supposons encore très petit et reprenons l’équation (4 bis).
D’après les principes du Chapitre III (no 42), pour une valeur donnée de nous aurons au moins deux solutions périodiques
