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INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Toutes les expressions (1) s’annuleront donc à l’exception de

$\delta f_{1}\,\delta f_{1}',\quad \delta \Theta ^{2},\,\delta \Phi \,\delta \Theta$ et $\delta \Phi ^{2}.$

Si l’on suppose $\delta \Phi =0,$ elles s’annuleront toutes à l’exception de

$\delta f_{1}\,\delta f_{1}'$  et  $\delta \Theta ^{2}.$

Soit donc, pour un point de la solution périodique,

$\Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'+\mathrm {C} \,\delta \Theta ^{2}.$

L’ensemble des termes en $t^{2}$ se réduira donc, pour ce même point, à

$-\mathrm {B} f_{1}f_{1}'\,t^{2}\,\delta \alpha _{1}^{2}+\mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}$

(cf., supra, Tableau 10 bis) et, puisque $f_{1}=f_{1}'=0,$ à

$\mathrm {C} \,t^{2}\,\delta \alpha _{0}^{2}.$

Les termes en $t^{2}$ doivent disparaître ; celui-ci est le seul qui ne s’annule pas pour le point considéré ; tous les autres sont nuls, quand même on ne s’assujettirait pas à la condition $\delta \Phi =0,$ car $\delta \Phi \,\delta \Theta$ et $\delta \Phi ^{2}$ ne donnent pas de termes en $t^{2}.$

Or $\delta \alpha _{0}$ n’est pas identiquement nul. On a, pour un point de la solution périodique,

${\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}}}={\frac {d\alpha _{0}}{df_{1}'}}={\frac {d\alpha _{0}}{d\Theta }}=0,$

mais on ne saurait avoir ${\frac {d\alpha _{0}}{d\Phi }}=0\,;$ ce serait supposer qu’il y a une infinité continue de solutions périodiques de même période, ce qui n’a pas lieu.

On peut remarquer toutefois que ${\frac {d\alpha _{0}}{d\Phi }}$ contient en facteur la petite quantité, que je désigne par $\mu ,$ c’est-à-dire la masse du second corps, et par conséquent que $\delta \alpha _{0}$ s’annule pour $\mu =0,$ c’est-à-dire dans le mouvement képlérien.

Les termes en $t^{2}$ ne peuvent donc disparaître que si l’on a

$\mathrm {C} =0,$

d’où

$\Pi =\mathrm {B} \,\delta f_{1}\,\delta f_{1}'.$

Mais cette dernière égalité montrerait que $\Pi$ se réduit à une forme quadratique binaire et par conséquent que son discri-