Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 3, 1899.djvu/143

131

INVARIANTS INTÉGRAUX ET SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

Si donc il existe un invariant quadratique, autre que celui qui est connu, cet invariant devra s’annuler pour tous les points de la solution périodique.

En d’autres termes, cette solution périodique devra être singulière au sens du n^o 257, en ce qui concerne cet invariant.

Il y aurait exception si les $n$ exposants

$\alpha _{0},\quad \alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}$

n’étaient pas indépendants les uns des autres, mais s’il y avait une relation entre eux. Dans ce cas, en effet, le coefficient de $t^{2},$ qui est une forme quadratique par rapport aux $n$ variables

$\delta \alpha _{0},\quad \delta \alpha _{1},\quad \ldots ,\quad \delta \alpha _{n-1},$

pourrait s’annuler identiquement sans que tous ses coefficients fussent nuls puisque ces $n$ variables ne seraient plus indépendantes.

En résumé, pour qu’il y eût d’autres invariants quadratiques que ceux que nous connaissons, il faudrait que toutes les solutions périodiques fussent singulières ou particulières.

Il n’est pas très vraisemblable qu’il en soit ainsi pour le problème des trois corps.

Cas du problème restreint.

287.On peut imaginer un autre mode de discussion que nous n’appliquerons qu’au cas du problème restreint. La discussion du n^o 257 a laissé subsister la possibilité de deux invariants quadratiques dont un est connu. Supposons que ces deux invariants quadratiques existent et soit $\Pi$ la forme quadratique correspondant à l’un de ces invariants. D’après ce qui précède $\Pi$ pourra contenir des termes en

(1)

$\left\{{\begin{array}{c}\delta f_{1}\,\delta f_{1}',\quad f_{1}'\,\delta f_{1}\,\delta \Phi ,\quad f_{1}\,\delta f_{1}'\,\delta \Phi ,\quad f_{1}'\,\delta f_{1}\,\delta \Theta ,\quad f_{1}\,\delta f_{1}'\,\delta \Theta ,\\f_{1}'^{2}\,\delta f_{1}^{2},\quad f_{1}^{2}\,\delta f_{1}'^{2},\quad \delta \Theta ^{2},\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Phi ^{2}.\end{array}}\right.$

D’autre part, $\Pi$ est une forme quadratique par rapport aux quantités

$\delta x_{1},\quad \delta x_{2},\quad \delta y_{1},\quad \delta y_{2},$