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CHAPITRE XXV.

Pour que le coefficient de $t^{2}\,\delta ^{2}\alpha _{k}$ disparaisse on devrait avoir

(11)

$f_{k}f_{k}'(\psi _{2}'+\psi _{3}')-\psi _{1}'=0.$

Pour la solution périodique on a

$f_{1}=f_{1}'=f_{2}=f_{2}'=\ldots =f_{n-1}=f_{n-1}'=0.$

Tous les termes qui contiennent en facteur l’une des expressions qui figurent à la 2^e, 3^e ou 4^e lignes du Tableau (8 bis) doivent alors s’annuler, car chacune de ces expressions contient en facteur $f_{k}$ ou $f_{k}'.$

Les seuls termes de l’expression $\Pi$ qui ne s’annulent pas pour la solution périodique sont donc les termes en

$\delta \varphi _{k}\,\delta f_{k}',\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Phi ^{2},\quad \delta \Theta ^{2},$

L’équation (11) montre que $\psi _{1}'$ contient en facteur $f_{k}f_{k}'\,:$ donc le terme $\psi _{1}'\,\delta f_{k}\,\delta f_{k}'$ doit s’annuler également. Il ne reste plus que les termes en

$\delta \Phi ^{2},\quad \delta \Phi \,\delta \Theta ,\quad \delta \Theta ^{2}.$

Le premier ne contient pas $t,$ le second le contient au 1^er degré, le troisième au 2^e degré.

Ce troisième terme étant le seul qui contienne $t^{2}$ doit être nul ; s’il est nul, le deuxième terme étant le seul qui contienne $t$ sera nul également.

En définitive, tous les termes de $\Pi$ s’annulent pour la solution périodique sauf le terme en $\delta \Phi ^{2}.$

Or, dans le problème général de la Dynamique, de même que dans les cas du problème des trois corps que nous avons appelés le problème restreint, le problème général réduit et le problème plan réduit, nous connaissons un invariant quadratique et nous n’en connaissons qu’un.

Si j’écris l’équation des forces vives sous la forme

$\mathrm {F} =\mathrm {const.} ,$

cet invariant n’est autre chose que

$\int {\sqrt {\left(d\mathrm {F} \right)^{2}}},$

c’est à cet invariant que correspond le terme en $\delta \Phi ^{2}$ qui ne s’annule pas.