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CHAPITRE XXV.

devra être linéaire par rapport aux expressions suivantes

${\begin{aligned}\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {A} _{k}',\\\mathrm {A} _{k}'\mathrm {A} _{j}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {A} _{j},\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta \mathrm {C} ,\\\mathrm {A} _{k}'\,\delta \mathrm {A} _{k}\,&\delta h,\\\,\delta \mathrm {C} \;\;&\delta h,\end{aligned}}$

ou par rapport aux expressions qu’on en déduit en permutant $\mathrm {A} _{k}$ et $\alpha _{k}',$ ou $\mathrm {A} _{j}$ et $\mathrm {A} _{j}'.$

Les coefficients seront développés suivant les puissances des produits $\mathrm {A} _{k}\mathrm {A} _{k}'$ et de $\mathrm {C}$ (si l’on suppose que la solution périodique corresponde à la valeur zéro de la constante des forces vives).

286.Revenons aux équations (7) du n^o 280 et raisonnons comme dans ce n^o 280 ; nous verrons que l’expression

$\Pi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {H} \,\delta x_{i}\,\delta x_{k},$

quand on y remplace les $x_{i}$ et les $y_{i}$ par leurs développements en fonctions des $f_{k},$ $f_{k}',$ $\Phi$ et $\Theta ,$ devra satisfaire aux conditions suivantes

1^o Elle devra être linéaire par rapport aux quantités suivantes

(8 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\delta f_{k}&\,\delta f_{k}',\\f_{k}'f_{j}'\,\delta f_{k}&\,\delta f_{j},\\f_{k}'\,\delta f_{k}&\,\delta \Phi ,\\f_{k}'\,\delta f_{k}&\,\delta \Theta ,\\\delta \Phi \;&\,\delta \Theta ,\\\delta \Phi ^{2}&\,\delta \Theta ^{2},\end{aligned}}\right.$

les coefficients étant développés suivant les puissances des $f_{k}f_{k}'$ et de $\Phi .$

2^o Elle ne dépendra pas de $\Theta ,$ mais seulement de $\delta \Theta .$

3^o Si ces conditions sont remplies, l’expression $\Pi$ ne contiendra le temps ni sous la forme exponentielle, ni sous la forme trigonométrique.

Il reste à chercher la condition pour que le temps n’y entre pas non plus en dehors des signes exponentiels et trigonométriques.

Reprenons les équations (9) du n^o 280 ; nous verrons qu’aux