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CHAPITRE XXV.

de valeurs différentes pour le rapport ${\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\,;$ deux indices appartiendront au même groupe s’ils correspondent à une même valeur du rapport ${\frac {\mathrm {B} _{i}}{\mathrm {B} _{i}'}}\cdot$

Alors, pour que $\alpha _{k}$ dépende de $\gamma _{i}$ (ou $\alpha _{i}$ de $\gamma _{k}$), il faut que les indices $i$ et $k$ appartiennent au même groupe.

Supposons, pour fixer les idées, qu’il y ait deux groupes seulement comprenant respectivement les indices

${\begin{array}{c}1,\quad 2,\quad \ldots ,\quad p,\\p+1,\quad p+2,\quad \ldots ,\quad n-1.\end{array}}$

Alors

$\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{p}$

dépendront seulement de

$\alpha _{0},\quad \gamma _{1},\quad \gamma _{2},\quad \ldots ,\quad \gamma _{p},$

et

$\alpha _{p+1},\quad \alpha _{p+2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}.$

dépendront seulement de

$\alpha _{0},\quad \gamma _{p+1},\quad \gamma _{p+2},\quad \ldots ,\quad \gamma _{n-1}.$

Il y a alors ce fait que les exposants caractéristiques $\alpha _{k}$ forment plusieurs groupes indépendants ; de telle façon que les $\alpha _{k}$ d’un groupe ne dépendent pas des produits $\mathrm {A} _{j}\mathrm {A} _{j}'$ relatifs à un autre groupe.

Les solutions périodiques pour lesquelles cette circonstance se produira (ou pour lesquelles il y aurait une relation entre les $\alpha _{k}$) pourront s’appeler particulières.

Nous arrivons donc à la conclusion suivante :

Pour qu’il y eût d’autre invariant algébrique que ceux que nous connaissons, il faudrait, ou bien que toutes les solutions périodiques fussent particulières, ou bien qu’elles fussent toutes singulières au sens du n^o 257.

Je n’entreprendrai pas de démontrer que cette circonstance ne peut se présenter dans le problème des trois corps ; mais cela paraîtra bien invraisemblable.