Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/98

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

84

CHAPITRE XII.

et d’où nous avons déduit, dans ce n^o 142, la valeur de ${\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}\,;$ rappelons-nous que

{\begin{aligned}\varphi &=\omega +\lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\varphi }}&={\frac {d\mathrm {S} }{d\omega }}=\Omega .\end{aligned}}

Nous verrons que les deux équations sont identiques pourvu que l’on fasse

2\mathrm {V} =\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2},

d’où il suit que la constante ${\frac {\beta ^{2}+\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}{2}}$ n’est autre chose que celle que nous avons appelée plus haut $\mathrm {V}$ et que nous avons regardée comme étant de l’ordre du carré des excentricités. Le rayon du cercle qui est $\textstyle {\sqrt {\beta ^{2}+\gamma ^{2}}}$ est donc de l’ordre des excentricités et, s’il est de l’ordre de $\alpha ,$ c’est-à-dire de $\mu ,$ l’origine peut se trouver en dehors du cercle.

Nous pouvons donc dire que, si dans le n^o 142 nous avons rencontré la difficulté que j’ai signalée, c’est parce que nous avions employé des espèces de coordonnées polaires et parce que nous en avions mal choisi l’origine. Cette origine doit être prise au centre du cercle, c’est-à-dire au point qui correspond à la solution périodique.

Nous sommes donc conduits à changer d’origine en posant

{\begin{aligned}x'&=x-\alpha \cos \lambda ,&y'&=y+\alpha \sin \lambda .\end{aligned}}

Pour conserver aux équations leur forme canonique, nous devons maintenant adopter une variable nouvelle $\Lambda '$ telle que

\Lambda '=\Lambda -\alpha (x'\cos \lambda -y'\sin \lambda ).

Nos variables conjuguées sont alors

{\begin{array}{cc}\Lambda ',&x',\\\lambda ,&y',\end{array}}

La fonction $\mathrm {F}$ qui, par hypothèse, était égale à

\Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega

devient, en fonction des variables nouvelles,

\Lambda '+{\frac {\mu \,\mathrm {A} }{2}}({x'}^{2}+{y'}^{2})+{\frac {\mu \,\mathrm {A} \,\alpha ^{2}}{2}}+{\frac {\alpha \mu }{\sqrt {2}}}\cdot