Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/88

CHAPITRE XII.

APPLICATION AUX ORBITES.

---

Exposé de la difficulté.

142.Il y a des cas où l’application des méthodes exposées dans le Chapitre précédent peut donner lieu à certaines difficultés : ce sont ceux où les excentricités sont très petites. Voici comment on peut s’en rendre compte.

Je crois que l’étude d’un exemple simple, beaucoup plus simple que n’est le Problème des trois Corps, sera de nature à mieux faire comprendre ces difficultés.

Soit donc

$\mathrm {F} =\Lambda +\mu \,{\sqrt {\Omega }}\cos(\omega +\lambda )+\mu \,\mathrm {A} \,\Omega \,;$

$\mu$ est un paramètre très petit, $\mathrm {A}$ une constante, $\Lambda ,$ $\Omega ,$ $\lambda$ et $\omega$ deux paires de variables conjuguées.

Considérons les équations canoniques

(1)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\lambda }{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}=1,&{\frac {d\omega }{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{d\Omega }},\\[0.75ex]{\frac {d\Lambda }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\lambda }},&{\frac {d\Omega }{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{d\omega }}\cdot \end{aligned}}\right.$

Ces équations sont très faciles à intégrer complètement, comme nous le verrons plus loin. Mais je veux d’abord faire ressortir leur analogie avec les équations du Problème des trois Corps.

Nous avons vu, au n^o 137, qu’après un certain nombre de changements de variables, les équations de ce problème pouvaient être mises sous la forme canonique, les variables conjuguées étant

${\begin{array}{rrr}\Lambda ,&\Lambda ',&\rho _{i},\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\omega _{i},\end{array}}$