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CHAPITRE XII.

Il en résulte que, si les excentricités sont très petites, on pourra craindre de voir apparaître dans $s_{p}$ des termes très grands. C’est là une difficulté qui, ainsi qu’on l’a vu, provient simplement de la présence de termes en ${\frac {1}{\varepsilon }}$ dans $\mathrm {F} ^{\star }\,;$ et ces termes en ${\frac {1}{\varepsilon }}$ sont dus simplement à ce fait que $\mathrm {F}$ contenait des termes du premier degré par rapport aux ${\sqrt {\rho _{i}}}$ ou encore par rapport à $\xi ,$ $\eta ,$ $\xi '$ et $\eta '.$

Voyons maintenant si cette difficulté, dont l’exemple du numéro précédent nous aide à comprendre la nature, n’est pas purement artificielle et si quelque détour ne nous permettra pas d’en triompher.

Solution de la difficulté.

144.Pour nous rendre compte de la manière dont on peut triompher de la difficulté que je viens de signaler, revenons à l’exemple très particulier du n^o 142.

Posons

${\begin{aligned}{\sqrt {2\Omega }}\cos \omega &=x,&{\sqrt {2\Omega }}\sin \omega &=y\,;\end{aligned}}$

nos équations canoniques deviennent

(1 bis)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\Lambda }{dt}}&={\frac {\mu }{\sqrt {2}}}(y\cos \lambda +x\sin \lambda ),&{\frac {d\lambda }{dt}}&=1,\\{\frac {dx}{dt}}&={\frac {\mu }{\sqrt {2}}}\sin \lambda -\mu \,\mathrm {A} \,y,&{\frac {dy}{dt}}&={\frac {\mu }{\sqrt {2}}}\cos \lambda +\mu \,\mathrm {A} \,x\,;\end{aligned}}\right.$

le système d’équations est évidemment très facile à intégrer, car les deux dernières sont linéaires et donnent immédiatement, en observant que $dt=d\lambda ,$

(2)

$\left\{{\begin{alignedat}{5}x&=&&\alpha \cos \lambda &{}+{}&\beta \cos(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda )&{}-{}&\gamma \sin(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda ),\\y&=-&&\alpha \sin \lambda &{}+{}&\beta \sin(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda )&{}+{}&\gamma \cos(\mu \,\mathrm {A} \,\lambda ),\end{alignedat}}\right.$

où

$\alpha =-{\frac {\mu }{{\sqrt {2}}(1+\mu \,\mathrm {A} )}}$

et où $\beta$ et $\gamma$ sont deux constantes arbitraires.

On n’a plus ensuite qu’une quadrature à effectuer pour obtenir $\Lambda ,$