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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

d’ailleurs périodique par rapport aux variables indépendantes $\omega _{i}.$ Ce premier membre dépend d’un paramètre $\mu '$ et quand ce paramètre s’annule, il se réduit à

$\mathrm {R} _{2}(\mathrm {T} '')=\sum _{i=1}^{i=4}2\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot$

Pour $\mu '=0,$ le premier membre ne dépend donc plus des $\omega _{i},$ mais seulement des dérivées ${\frac {d\mathrm {T} ''}{d\omega _{i}}}\cdot$

Nous nous trouvons donc dans les conditions où l’analyse du n^o 125 est applicable et nous pouvons conclure qu’il existe une série

$\mathrm {T} ''_{0}+\mu '\mathrm {T} ''_{1}+{\mu '}^{2}\mathrm {T} ''_{2}+\ldots ,$

développée suivant les puissances de $\mu '$ et qui, substituée à la place de $\mathrm {T} ',$ satisfait formellement à l’équation (2), et que cette série est telle que les dérivées

${\frac {d\mathrm {T} _{k}''}{d\omega _{i}}}$

soient périodiques par rapport aux $\omega _{i}.$

Nous poserons

$\mathrm {T} ''_{0}=\Omega '_{1}\omega _{1}+\Omega '_{2}\omega _{2}+\Omega '_{3}\omega _{3}+\Omega '_{4}\omega _{4},$

$\Omega '_{1},\,\Omega '_{2},\,\Omega '_{3},\,\Omega '_{4}$ étant nos quatre constantes d’intégration ; et la constante $\mathrm {C} '$ devra satisfaire à l’équation

$\mathrm {C} '={\textstyle \sum }2\mathrm {A} _{i}\Omega '_{i}.$

On vérifie sans peine que $\mathrm {T} ''_{k}$ est un polynôme entier de degré $k+1$ par rapport aux quatre constantes $\Omega '_{i}.$

Il en résulte que

$\mathrm {T} =\mu '\mathrm {T} ''$

se présente sous la forme d’une série développée suivant les puissances entières croissantes des quatre quantités

$\mu '\Omega '_{1},\quad \mu '\Omega '_{2},\quad \mu '\Omega '_{3},\quad \mu '\Omega '_{4},$

que j’appellerai pour abréger

$\Omega _{1},\quad \Omega _{2},\quad \Omega _{3},\quad \Omega _{4}.$