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CHAPITRE XI.

et ne dépendait d’autre part que des autres variables

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{1}\quad$ et $\quad \lambda '_{1}.$

Si donc on fait

$\rho _{1}=\rho _{2}=0,$

$\mathrm {F}$ ne dépend plus que de $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}.$

Si, d’autre part, on fait

$\mathrm {V} _{1}=\mathrm {V} _{2}=0,$

$\mathrm {T} ',$ qui est développable suivant les puissances croissantes des $\mathrm {V}$ et ne contient que des termes du second degré au moins par rapport à ces quantités, s’annulera ainsi que ses dérivées du premier ordre. De même $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ s’annuleront et il viendra

$\rho _{i}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}=\Omega _{i}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\omega _{i}}}=0,$

$\lambda _{2}=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }}=\lambda _{1}+{\frac {d\mathrm {T} '}{d\Lambda }}=\lambda _{1}.$

De même

$\lambda '_{2}-\lambda '_{1}.$

Il résulte de là que $\rho _{1}$ et $\rho _{2}$ s’annulant et, d’autre part, $\lambda _{2}$ et $\lambda '_{2}$ se réduisant à $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}\,;$ il résulte, dis-je, que $\mathrm {F}$ ne dépend plus que des quatre variables

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \lambda _{2}\quad$ et $\quad \lambda '_{2}.$

Si donc on fait

${\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}}=0,$

le premier membre de l’équation (6) ne contient plus que $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},$ ${\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}}\cdot$

Cette équation est alors très facile à intégrer ; on n’aurait pour y parvenir qu’à appliquer les procédés du n^o 125 ; mais il y a ici quelque chose de plus.

L’intégrale n’est plus purement formelle et la série développée suivant les puissances de $\mu$ à laquelle on parvient est convergente.

En effet, $\mathrm {F}$ ne dépend que de la différence $\lambda _{2}-\lambda '_{2},$ puisque nous avons vu que $\mathrm {F}$ ne doit pas changer quand $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ $v_{1}$ et $v_{2}$ aug-