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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

Les équations (4) et (5) montrent alors que, quand $\lambda _{1},$ $\lambda '_{1},$ $\omega _{1}$ et $\omega _{2}$ augmentent d’une même quantité $\varepsilon ,$ $\lambda _{2},$ $\lambda '_{2},$ $v_{1}$ et $v_{2}$ augmentent de cette même quantité $\varepsilon \,;$ donc quand ces quatre variables nouvelles augmentent de $\varepsilon ,$ $\mathrm {F}$ ne change pas.

La façon dont $\mathrm {F}$ dépend de $\mathrm {V} _{1}$ et de $\mathrm {V} _{2}$ est assez compliquée, parce que $\mathrm {F} ,$ avant le changement de variables, contenait les radicaux ${\sqrt {\rho _{1}}}$ et ${\sqrt {\rho _{2}}}.$

Soit

$\mathrm {F} (\Lambda ,\;\Lambda ',\;\lambda _{2},\;\lambda _{2}',\;\mathrm {V} _{1},\;\mathrm {V} _{2},\;v_{1},\;v_{2})$

ce que devient la fonction $\mathrm {F}$ après le changement de variables. Nous avons à intégrer l’équation

(6)

$\mathrm {F} \left({\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda _{2}}},{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '_{2}}},\lambda _{2},\lambda _{2}',{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}},{\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}},v_{1},v_{2}\right)=\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}\mu +\mathrm {C} _{2}^{1}\mu ^{2}+\ldots$

Nous voulons satisfaire formellement à cette équation en faisant

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+\mu \,\mathrm {S} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {S} ^{2}+\ldots$

et

$\mathrm {S} _{0}=\Lambda _{0}\lambda _{2}+\Lambda '_{0}\lambda '_{2}+\mathrm {V} _{1}^{0}v_{1}+\mathrm {V} _{2}^{0}v_{2},$

$\Lambda _{0},\,\Lambda '_{0},\,\mathrm {V} _{1}^{0}$ et $\mathrm {V} _{2}^{0}$ doivent être nos quatre constantes d’intégration. On n’a pour cela, comme nous l’avons vu, qu’à appliquer la méthode du n^o 134.

Étude d’une intégrale particulière.

139.On trouve une intégrale particulière remarquable en supposant que les deux dernières constantes $\mathrm {V} _{1}^{0}$ et $\mathrm {V} _{2}^{0}$ soient nulles.

Il suffit pour cela de faire dans l’équation (6)

${\frac {d\mathrm {S} }{dv_{1}}}={\frac {d\mathrm {S} }{dv_{2}}}=0.$

Il arrive alors que le premier membre de cette équation ne dépend plus ni de $v_{1}$ ni de $v_{2}.$

En effet, avant le dernier changement de variables que nous venons de faire, $\mathrm {F}$ était développable suivant les puissances de

${\sqrt {\rho _{i}}}\cos \omega _{i}\quad$ et $\quad {\sqrt {\rho _{i}}}\sin \omega _{i},$