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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.

Nous aurons alors pour déterminer ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}$ les deux équations simultanées

${\begin{aligned}&\mathrm {R} -\mathrm {H} =\mathrm {A} _{1}\Omega _{1}+\mathrm {A} _{2}\Omega _{2},\\[0.5ex]&{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}+{\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}=\Omega _{1}+\Omega _{2}.\end{aligned}}$

Le déterminant fonctionnel des deux premiers membres par rapport à ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}$ se réduit pour ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}=0$ à $\mathrm {A} _{1}-\mathrm {A} _{2}.$ Il n’est donc pas nul.

Donc, d’après le théorème du n^o 30, on pourra tirer de ces équations ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{2}}}$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances croissantes des $\Omega \,:$ les termes de degré 0 seront nuls, les termes du premier degré se réduiront respectivement à $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2},$ les termes de degré supérieur auront pour coefficients des fonctions périodiques de $\omega _{1}-\omega _{2}.$

La fonction $\mathrm {U}$ du n^o 135 pourra alors s’écrire

$\mathrm {U} =\Lambda \,\lambda _{1}+\Lambda '\,\lambda '_{1}+\mathrm {T} ,$

et nous aurons

$\mathrm {T} =\mathrm {V} _{1}\omega _{1}+\mathrm {V} _{2}\omega _{2}+\mathrm {T} ',$

$\mathrm {V} _{1}$ et $\mathrm {V} _{2}$ étant deux constantes dépendant de $\Omega _{1}$ et $\Omega _{2}$ et $\mathrm {T} '$ étant une fonction périodique de $\omega _{1}$ et $\omega _{2}.$

Nous allons faire le changement de variables défini au n^o 4, en prenant pour variables nouvelles de la première série

$\Lambda ,\quad \Lambda ',\quad \mathrm {V} _{1}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {V} _{2}$

liées aux variables anciennes $\Lambda ,$ $\Lambda ',$ $\lambda _{1},$ $\lambda '_{1},$ $\rho _{i}$ et $\omega _{i}$ par les relations

(3)

${\begin{aligned}\Lambda &={\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda _{1}}},&\Lambda '&={\frac {d\mathrm {U} }{d\lambda '_{1}}},&\rho _{i}&={\frac {d\mathrm {U} }{d\omega _{i}}}={\frac {d\mathrm {T} }{d\omega _{i}}}\cdot \end{aligned}}$

Les variables conjuguées que j’appellerai

$\lambda _{2},\quad \lambda _{2}',\quad v_{1}\quad \mathrm {et} \quad v_{2}$

seront alors définies par les équations

(4)

$\left\{{\begin{array}{c}{\begin{aligned}\lambda _{2}&={\dfrac {d\mathrm {U} }{d\Lambda }}=\lambda _{1}+{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\Lambda }},&\lambda '_{2}&={\dfrac {d\mathrm {U} }{d\Lambda '}}=\lambda '_{1}+{\dfrac {d\mathrm {T} }{d\Lambda '}},\end{aligned}}\\[0.5ex]v_{i}={\dfrac {d\mathrm {U} }{d\mathrm {V} _{i}}}={\dfrac {d\mathrm {T} }{d\mathrm {V} _{i}}}\cdot \end{array}}\right.$