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CHAPITRE XI.

$\psi$ et $\psi '$ étant des formes quadratiques des $\sigma$ et des $\tau$ dont les coefficients dépendent de $\Lambda$ et de $\Lambda '$ et qui s’écrivent

${\begin{aligned}\psi &={\frac {d\varphi }{d\Lambda }}\,(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda }}\,(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\\[0.5ex]\psi '&={\frac {d\varphi }{d\Lambda '}}(\sigma _{2}\tau _{1}-\sigma _{1}\tau _{2})+{\frac {d\varphi '}{d\Lambda '}}(\sigma _{4}\tau _{3}-\sigma _{3}\tau _{4}),\end{aligned}}$

$\varphi$ et $\varphi '$ étant les angles que nous avons appelés ainsi au n^o 131.

On verrait alors, en raisonnant comme au n^o 135, que toute fonction périodique en $\lambda$ et $\lambda '$ est encore, après le changement de variables, périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda '_{1}$ et que la valeur moyenne est la même dans les deux cas.

Nous pouvons tirer de là quelques conclusions au sujet de la forme de la fonction $\mathrm {F} .$

$\mathrm {F}$ dépend d’une manière quelconque de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ mais elle est périodique en $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'\,;$ de plus elle est développable suivant les puissances des $\sigma$ et des $\tau .$

J’ajouterai qu’elle ne doit pas changer quand on change $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'$ e, $\lambda _{1}+\pi$ et $\lambda _{1}'+\pi$ et quand les $\sigma$ et les $\tau$ changent de signe à la fois. Il suffit, pour s’en rendre compte, de se reporter à ce que nous avons dit au n^o 12 et d’observer que quand

$\lambda _{1},\quad \lambda '_{1},\quad \sigma _{i},\quad \tau _{i}$

se changent en

$\lambda _{1}+\pi ,\quad \lambda '_{1}+\pi ,\quad -\sigma _{i},\quad -\tau _{i},$

les quantités $\lambda$ et $\lambda '$ se changent en $\lambda +\pi$ et $\lambda '+\pi$ et que les variables $\xi ,$ etc., changent de signe.

Nous allons enfin faire un dernier changement de variables en posant, comme au n^o 131,

${\begin{aligned}\tau _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\cos \omega _{i},&\sigma _{i}&={\sqrt {2\rho _{i}}}\sin \omega _{i},\end{aligned}}$

ce qui, en vertu de la remarque du n^o 6, n’altère pas la forme canonique.

$\mathrm {F}$ devient alors développable suivant les puissances des ${\sqrt {\rho _{i}}},$ et il vient d’ailleurs

$\mathrm {R} _{2}=2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.$