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GÉNÉRALITÉS ET MÉTHODE DE JACOBI.

Si l’on fait $\mu =0,$ il vient

${\begin{aligned}\mathrm {V} &={\frac {\alpha _{3}m_{1}}{b}}+{\frac {\alpha _{2}m_{1}}{c}},&\beta &=\alpha _{2},&\beta '&=\alpha _{3},\end{aligned}}$

et

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}={\frac {\beta ^{3}}{2(\beta \mathrm {L} )^{2}}}+{\frac {\beta '^{3}}{2(\beta '\mathrm {L} ')^{2}}}={\frac {\alpha _{2}^{3}}{2(\beta \mathrm {L} )^{2}}}+{\frac {\alpha _{3}^{3}}{2(\beta '\mathrm {L} ')^{2}}}\,;$

$\mathrm {F}$ ne dépend plus alors d’aucune des variables de la seconde série $l,$ $g,$ $\theta ,$ $l',$ $g',$ $\theta '\,;$ j’ajouterai que, quel que soit $\mu ,$ $\mathrm {F}$ est une fonction périodique de période $2\pi$ par rapport à ces variables de la seconde série.

Disons quelques mots de certains cas particuliers. Si les trois corps restent constamment dans le plan des $x_{1},\,x_{2},$ on aura $\mathrm {G} =\Theta ,$ $\mathrm {G} '=\Theta ',$ et $\mathrm {F}$ ne dépendra que de $g+\theta$ et $g'+\theta ',$ de sorte qu’on n’aura plus que quatre couples de variables conjuguées

${\begin{array}{cccc}\beta \mathrm {L} ,&\beta \mathrm {G} =\beta \Theta =\beta \Pi ,&\beta '\mathrm {L} ',&\beta '\mathrm {G} '=\beta '\Theta '=\beta \Pi ',\\l,&g+\theta =\varpi ,&l',&g'+\theta '=\varpi '.\\\end{array}}$

ainsi qu’il a été dit au n^o 10.

12.Reprenons la notation du n^o 11 et les équations de ce numéro. Je vais mettre ces équations sous une forme nouvelle qui me sera utile dans la suite.

Considérons d’abord le cas particulier où les inclinaisons sont nulles et où les trois corps se meuvent dans un même plan.

Posons

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\beta \,\mathrm {L} &=\Lambda ,&\beta \,\Pi &=\Lambda \,-\mathrm {H} ,&l\,+\varpi &=\lambda ,&\varpi \,&=-h\,,\\\beta '\mathrm {L} '&=\Lambda ',&\beta '\Pi '&=\Lambda '-\mathrm {H} ',&l'+\varpi '&=\lambda ',&\varpi '&=-h'.\end{aligned}}\right.$

Il vient

${\begin{array}{c}{\dfrac {d\lambda }{dt}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d(\beta \mathrm {L} )}}-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d(\beta \Pi )}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\Lambda }}{\dfrac {dh}{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{d(\beta \Pi )}}=-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\mathrm {H} }}\,,\\{\dfrac {d\Lambda }{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{d\lambda }}\,,\qquad {\dfrac {d\mathrm {H} }{dt}}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dl}}-{\dfrac {d\mathrm {F} }{d\varpi }}={\dfrac {d\mathrm {F} }{dh}}\,\cdot \\\end{array}}$

On voit ainsi que les nouvelles variables $\Lambda ,\,\mathrm {H} ,$ $\Lambda ',\,\mathrm {H} ',$ $\lambda ,\,h,$ $\lambda ',\,h'$ sont encore conjuguées et par conséquent que le changement de variables (1) n’altère pas la forme canonique des équations.