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CHAPITRE XI.

Application au Problème des trois Corps.

136.Appliquons ce qui précède au Problème des trois Corps ; nous avons mis les équations de ce problème sous la forme

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\end{aligned}}$

avec

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1},$

$\mu$ étant un paramètre très petit, et $\mu \,\mathrm {F} _{1}$ la fonction perturbatrice. Nos variables sont celles du n^o 11,

(2)

$\left\{{\begin{array}{cccccc}\Lambda =\beta \,\mathrm {L} ,&\Lambda '=\beta '\mathrm {L} ',&\beta \,\mathrm {G} ,&\beta \,\Theta ,&\beta '\mathrm {G} ',&\beta '\Theta ',\\l,&l',&g,&\theta ,&g',&\theta '\end{array}}\right.$

ou bien encore celles du n^o 12,

(3)

$\left\{{\begin{array}{llllll}\Lambda ,&\Lambda ',&\xi ,&\xi ',&p,&p',\\\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',&q,&q'.\\\end{array}}\right.$

$\mathrm {F} _{0}$ ne dépend que de $\Lambda$ et de $\Lambda '\,;$ $\mathrm {F} _{1}$ dépend des douze variables, mais est périodique par rapport à $l$ et $l'.$ Si l’on considère donc $\mathrm {F} _{1}$ comme fonction périodique de $l$ et de $l'$ et que l’on appelle $\mathrm {R}$ la valeur moyenne de cette fonction, $\mathrm {R}$ ne sera pas autre chose que la fonction que nous avons désignée ainsi dans le Chapitre précédent. Elle dépend de dix variables, à savoir des douze variables (2) à l’exception de $l$ et de $l'$ ou bien des douze variables (3) à l’exception de $\lambda$ et de $\lambda '.$ Si l’on adopte les variables (2), elle sera périodique par rapport à $g,$ $g',$ $\theta$ et $\theta '.$

La méthode des n^os 134 et 135 sera donc applicable aux équations (1) et en permettra l’intégration formelle pourvu que l’on sache intégrer les équations

(4)

${\begin{aligned}{\dfrac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {R} }{dy_{i}}},&{\dfrac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {R} }{dx_{i}}},\end{aligned}}$

où les variables $x_{i}$ et $y_{i}$ sont les quatre dernières paires de variables conjuguées (2) ou les quatre dernières paires de variables conjuguées (3), et où $\Lambda$ et $\Lambda '$ sont regardées comme des constantes.