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APPLICATION AU PROBLÈME DES TROIS CORPS.
de même forme que la fonction
envisagée dans le no 125 et qui
satisfasse formellement à l’équation
(4)
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étant une constante que nous pourrons écrire
![{\displaystyle \mathrm {C} =\mathrm {C} _{0}+\mu \,\mathrm {C} _{1}+\mu ^{2}\,\mathrm {C} _{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1abcead4c8351ba1414d3cdc7a55aba9dc8b9fb)
étant des constantes arbitraires.
Nous poserons d’abord
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}&=x_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{2}}}&=x_{2}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fa2f14070fbcc1d1f680881178a5f71c628de2a)
Les constantes
et
seront liées par la relation
![{\displaystyle \mathrm {F} _{0}(x_{1}^{0},x_{2}^{0})=\mathrm {C} _{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4feedb3e10431902b5effad86dfc5fe789237b37)
Mais, comme la constante
est arbitraire,
et
seront eux-mêmes
arbitraires.
Je poserai ensuite
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{0}}}&=-n_{1}^{0},&{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{2}^{0}}}&=-n_{2}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/787ce11f33f27fce6110b4a8871c5fe38f17aeae)
Il vient
![{\displaystyle \mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+[\mathrm {S} _{0}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e7f92acb9f66260cffaec5d9c695f5d95c388ad)
étant une fonction arbitraire de
qu’il reste à déterminer.
En égalant dans l’équation (4) les coefficients de
il vient, comme
au no 125,
(5)
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Quelle que soit la fonction arbitraire
le second membre de
l’équation (5) sera une fonction périodique de
et de
et la
valeur moyenne de cette fonction sera
![{\displaystyle \mathrm {R} \left(x_{1}^{0},x_{2}^{0},{\frac {d[\mathrm {S} _{0}]}{dy_{3}}},y_{3}\right)-\mathrm {C} _{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96cf3d409be2e74281a4d904445def80d8eeff06)
Nous voulons que la fonction
soit de la forme suivante
![{\displaystyle \alpha _{1,1}y_{1}+\alpha _{1,2}y_{1}+\alpha _{1,3}y_{3}{}+{}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c8e6d50daedce1c35ade6049d143a14d8713c93)
fonction périodique de
![{\displaystyle y1,\,y_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbb1c30225caa20c39af28c0863d8f105f7fa783)
et