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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

Pour la seconde série, nous aurons

(17 bis)

${\begin{aligned}x&=t,&p&=\eta _{1}',&q&=\eta _{2}',&\operatorname {tang} {\frac {y}{4}}&=\eta _{3}'\,;\end{aligned}}$

$\eta _{1}',$ $\eta _{2}'$ et $\eta _{3}'$ étant des séries développées suivant les puissances de $\mathrm {C} e^{+\beta t},$ et dont les coefficients sont périodiques en $t.$

Si nous considérons maintenant ces quantités comme fonctions de $\varepsilon ,$ le n^o 106 nous apprendra que les six fonctions $\eta$ sont développables suivant les puissances croissantes de $\varepsilon .$

Si nous les considérons comme fonctions de µ, le n^o 104 nous apprendra que chacun des termes des six fonctions $\eta$ aura un coefficient de la forme

${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$

$\mathrm {N}$ étant un polynôme développé suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}$ et de $\beta$ et $\Pi$ étant un produit de facteurs de la forme

$m{\sqrt {-1}}+n\beta ,$

$m$ et $n$ étant des entiers positifs ou négatifs.

${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$ comme nous l’avons vu au n^o 108, peut être développé suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ mais le développement est en général purement formel parce que les exposants caractéristiques s’annulent pour $\mu =0.$

Transformons maintenant les expressions (17) et (17 bis). Commençons par remplacer partout $t$ par $x.$ Résolvons ensuite l’équation

$\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}=\eta _{3}$

par rapport à $\mathrm {C} ,$ nous trouverons

$\mathrm {C} e^{\beta x}=\zeta .$

Si nous observons que, pour $\varepsilon =0,$ $\eta _{3}$ se réduit à $\mathrm {C} e^{\beta x}\,;$ nous verrons que $\zeta$ peut se développer suivant les puissances de $\varepsilon$ et de $\operatorname {cot} {\frac {y}{4}}$ et que ses coefficients sont périodiques en $x.$

Substituons $\zeta$ à la place de $\mathrm {C} e^{\beta x}$ dans $\eta _{1}$ et $\eta _{2}\,;$ alors $\eta _{1}$ et $\eta _{2}$