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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

Si nous sommes, par exemple, dans le cas ordinaire, nous devrons écrire que

$\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}+1}{dy_{1}}}\,dy_{1}$

est égal à une constante donnée $h$ indépendante des $\omega _{i}\,;$ nous trouverons ainsi ${\bigg (}$en posant, pour abréger, ${\frac {d\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}}{dy_{1}}}=\mathrm {W} {\bigg )}$

(17)

$2{\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{i}\,{\frac {d\mathrm {V} _{q-1}}{d\omega _{i}}}=\gamma +{\frac {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {\Phi \,dy_{1}}{2\mathrm {AW} }}-h}{\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {dy_{1}}{2\mathrm {AW} }}}}\cdot$

Cette équation nous donnera $\mathrm {V} _{q-1}$ et l’équation (16) nous donnerait ensuite

$\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}.$

Les équations obtenues en égalant les coefficients des autres puissances de $\varepsilon$ seraient de même forme que (16). Il en serait encore de même des équations que l’on obtiendrait en égalant dans les deux membres de (7) les coefficients des diverses puissances de $\varepsilon .$

Toutes ces équations pourraient donc se traiter de la même manière.

Les résultats seraient absolument les mêmes si $q$ était impair ; seulement il faudrait modifier la forme du développement de $\mathrm {S} _{1}$ et écrire

$\mathrm {S} _{1}=\varepsilon ^{\frac {q}{2}}\mathrm {U} _{\frac {q}{2}}+\varepsilon ^{{\frac {q}{2}}+1}\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+1}+\varepsilon ^{{\frac {q}{2}}+2}\mathrm {U} _{{\frac {q}{2}}+2}+\ldots ,$

$\mathrm {S} _{1}$ étant ainsi développé suivant les puissances impaires de ${\sqrt {\varepsilon }}.$

Tous les résultats obtenus depuis le commencement de ce Chapitre sont bien incomplets et de nouvelles études deviendront nécessaires. Elles seraient prématurées.