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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

remplacées par les constantes $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}$ analogues aux $x_{i}^{0}.$ $\mathrm {A}$ devient ainsi une constante.

3^o Ils sont périodiques par rapport à $y_{1}$ et aux $\omega _{i}.$

4^o Ils sont développables par rapport aux puissances entières de $\varepsilon ,$ et aux puissances fractionnaires des $\rho _{i}$ qui doivent être remplacés par ${\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}}\cdot$

L’équation (4 bis) peut ainsi s’écrire

(4 a)

$\mathrm {H} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},{\frac {d\mathrm {T} _{0}}{d\omega _{i}}},y_{1},\omega _{i}\right)=\mathrm {C} _{2}.$

Envisageons le développement de $\mathrm {H}$ suivant les puissances de $\varepsilon .$ Le terme indépendant de $\varepsilon$ se réduit à

$\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}+\mathrm {R} _{0}.$

$\mathrm {R} _{0},$ défini comme au n^o 221, est une constante qui ne dépend que de $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}.$

Le terme en $\varepsilon$ est nul (sauf si $m+m'=\pm 1,$ cas que nous laissons de côté).

Le terme en $\varepsilon ^{2}$ se réduit à

$\mathrm {R} _{2}+2\mathrm {A} _{1}\rho _{1}+2\mathrm {A} _{2}\rho _{2}+2\mathrm {A} _{3}\rho _{3}+2\mathrm {A} _{4}\rho _{4}.$

Le premier terme qui dépend de $y_{1}$ est le terme en

$\varepsilon ^{|m+m'|}.$

Voici comment on peut traiter l’équation (4 a). Cherchons à développer $\mathrm {S} _{1}$ suivant les puissances de $\varepsilon ,$ et soit

$\mathrm {S} _{1}=\mathrm {U} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {U} _{1}+\varepsilon ^{2}\,\mathrm {U} _{2}+\ldots .$

Développons de même $\mathrm {C} _{2}$ et $\mathrm {T} _{0},$ et soit

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{2}&=\gamma _{0}+\varepsilon \gamma _{1}+\varepsilon ^{2}\gamma _{2}+\ldots ,&\mathrm {T} _{0}&=\mathrm {V} _{0}+\varepsilon \,\mathrm {V} _{1}+\ldots \,;\end{aligned}}$

en remplaçant $\mathrm {T} _{0}$ par cette valeur dans $\mathrm {R}$ et développant $\mathrm {R} ,$ il vient

$\mathrm {R} =\mathrm {R} _{0}'+\varepsilon ^{2}\mathrm {R} _{2}'+\varepsilon ^{3}\mathrm {R} _{3}'+\ldots .$