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EXTENSION DE LA MÉTHODE DE M. BOHLIN.

trois Corps, la forme de cette équation. Elle s’écrit

$\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\mathrm {C} _{2}-[\mathrm {F} _{1}]}}\,dy_{1}=2\pi \mathrm {A} h.$

Mais quelle est la forme de $[\mathrm {F} _{1}]$ ?

Nous choisirons pour variables les quantités

${\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}$

définies à la page 87, auxquelles nous devrons adjoindre, si les trois corps ne se meuvent pas dans un même plan, les variables

${\begin{array}{rr}p,&p',\\q,&q',\end{array}}$

définies tome I, page 30.

Alors la fonction $\mathrm {F}$ sera développée suivant les puissances positives de $\mu ,$ $\xi _{1},$ $\xi _{1}',$ $\eta _{1},$ $\eta _{1}',$ $p,$ $q,$ $p',$ $q'$ et suivant les sinus et cosinus des multiples de $\lambda _{1}$ et $\lambda _{1}'.$ Un terme en

${\begin{array}{cc}\cos \\\sin \end{array}}\left(m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'\right)$

devra contenir en facteur un monome dont le degré par rapport aux variables $\xi _{1},$ $\eta _{1},$ $p,$ $q,\,\ldots$ sera au moins égal à $|m+m'|$ et n’en pourra différer que d’un nombre pair. Enfin $\mathrm {F} _{0}$ ne dépendra que de $\Lambda _{1}$ et $\Lambda _{1}'.$

Cela posé, imaginons que l’on ait

$m\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{1}^{0}}}+m'\,{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{d\Lambda _{1}'^{0}}}=0,$

$m$ et $m'$ étant deux entiers ; $\Lambda _{1}^{0}$ et $\Lambda _{1}'^{0}$ deux constantes auxquelles nous égalerons ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda _{1}}}$ et ${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{d\lambda _{1}'}},$ analogues par conséquent aux constantes que nous désignions par $x_{i}^{0}$ dans le numéro précédent. Nous poserons alors

$m\lambda _{1}+m'\lambda _{1}'=y_{1}\,;$

et pour former ${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}$ nous n’avons qu’à supprimer dans $\mathrm {F} _{1}$ tous les termes qui dépendent de $\lambda _{1}$ ou de $\lambda _{1}',$ sauf ceux qui ne dépendent que de $y_{1}.$