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APPLICATION AUX ORBITES.

fonctions périodiques de $\lambda -\lambda '$ et de deux constantes arbitraires que j’appellerai $\mathrm {A} _{1}$ et $\mathrm {A} '_{1}.$

Soient donc

${\begin{aligned}\Lambda &=\mathrm {A} ,&\Lambda '&=\mathrm {A} ',&\xi &=\mathrm {B} ,&\xi '&=\mathrm {B} ',&\eta &=\mathrm {C} ,&\eta '&=\mathrm {C} '\end{aligned}}$

les équations de ces solutions périodiques ; $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {A} ',$ $\mathrm {B} ,$ $\mathrm {B} ',$ $\mathrm {C}$ et $\mathrm {C} '$ seront des fonctions de $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\Lambda _{1}$ et $\Lambda '_{1},$ périodiques par rapport à $\lambda$ et $\lambda '.$ Voici quelle est la forme de ces fonctions. $\mathrm {A}$ et $\mathrm {A} '$ ne dépendent que de $\lambda -\lambda ',$ et on a

${\begin{aligned}\mathrm {B} &=\quad \mathrm {T} \cos \lambda +\mathrm {U} \sin \lambda ,&\mathrm {B} '&=\quad \mathrm {T} '\cos \lambda '+\mathrm {U} \sin \lambda ',\\\mathrm {C} &=-\,\mathrm {T} \sin \lambda \,+\mathrm {U} \cos \lambda ,&\mathrm {C} '&=-\,\mathrm {T} '\sin \lambda '\,+\mathrm {U} \cos \lambda ',\end{aligned}}$

$\mathrm {T} ,\,\mathrm {U} ,\,\mathrm {T} '$ et $\mathrm {U} '$ ne dépendant que de $\lambda -\lambda '.$

On déduit de là facilement l’identité suivante

(6)

${\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {B} }{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {C} }{d\lambda }}=-\mathrm {T} \,{\frac {d\mathrm {T} }{d(\lambda -\lambda ')}}-\mathrm {U} \,{\frac {d\mathrm {U} }{d(\lambda -\lambda ')}},$

et, par symétrie,

${\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda }}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda '}}-{\frac {d\mathrm {B} '}{d\lambda '}}{\frac {d\mathrm {C} '}{d\lambda }}=-\mathrm {T} '{\frac {d\mathrm {T} '}{d(\lambda -\lambda ')}}-\mathrm {U} '{\frac {d\mathrm {U} '}{d(\lambda -\lambda ')}}\cdot$

Cela posé, formons une fonction auxiliaire

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}-\xi _{1}\mathrm {C} -\xi _{1}'\mathrm {C} '+\eta \mathrm {B} +\eta '\mathrm {B} '+\xi _{1}\eta +\xi _{1}'\eta ',$

$\mathrm {S} _{0}$ étant une fonction de $\lambda ,$ $\lambda ',$ $\Lambda _{1},$ $\Lambda _{1}'$ que nous déterminerons plus loin. Alors $\mathrm {S}$ est fonction de

${\begin{array}{cccc}\lambda ,&\lambda ',&\eta ,&\eta ',\\\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}'.\end{array}}$

Si alors nous posons

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}}}&=\lambda _{1},&{\frac {d\mathrm {S} }{d\Lambda _{1}'}}&=\lambda _{1}',&{\frac {d\mathrm {S} }{d\xi _{1}}}&=\eta _{1},&{\frac {d\mathrm {S} }{d\xi _{1}'}}&=\eta _{1}',\\{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda }}\;&=\Lambda ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\lambda '}}\;&=\Lambda ',&{\frac {d\mathrm {S} }{d\eta }}\;&=\xi ,&{\frac {d\mathrm {S} }{d\eta '}}\,&=\xi ',\end{aligned}}\right.$

et que l’on prenne pour variables nouvelles

${\begin{array}{rrrr}\Lambda _{1},&\Lambda _{1}',&\xi _{1},&\xi _{1}',\\\lambda _{1},&\lambda _{1}',&\eta _{1},&\eta _{1}',\end{array}}$