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SÉRIES DE M. BOHLIN.

termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}$

et celles des $y_{i}$ que des termes en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q+1}}},$

où

$q\leqq 2p-1.$

Cela posé, supposons que $n_{1}^{0}$ soit très petit et du même ordre de grandeur que ${\sqrt {\mu }}.$ Posons alors

$n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{2}\mu +\alpha _{3}\mu ^{\frac {3}{2}}+\ldots ,$

les α étant de nouvelles constantes. C’est ce que nous avons fait au n^o 211. On peut, par exemple, poser tout simplement

$n_{1}^{0}=\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}.$

Après cette substitution, un terme en

${\frac {\mu ^{p}}{\left(n_{1}^{0}\right)^{q}}}$

n’est plus d’ordre $p$ en $\mu ,$ mais d’ordre $p-{\frac {q}{2}}\cdot$

Groupons ensuite ceux des termes de nos séries qui sont devenus ainsi du même ordre en $\mu .$ Chacun des groupes ainsi obtenus formera une série partielle ; et la série totale sera la somme de toutes ces séries partielles.

Pour obtenir les séries du présent Chapitre, il suffit de faire la somme de chacune de ces séries partielles.

Si $\alpha _{1}$ est assez grand, les séries partielles sont convergentes (les séries totales restant bien entendu divergentes et n’ayant de valeur qu’au point de vue du calcul formel). Mais, si $\alpha _{1}$ est trop petit pour que les séries partielles convergent, on peut néanmoins poursuivre par continuité analytique, cela est aisé à comprendre.

C’est ainsi que la fonction

${\frac {1}{1+x}},$