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CHAPITRE XX.

$\beta _{1}$ étant une constante et $\mathrm {S} '$ étant développable suivant les sinus et les cosinus des multiples de

${\frac {y_{1}}{2}},\quad y_{2},\quad y_{3},\quad \ldots ,\quad y_{n}.$

Cette fonction est d’ailleurs holomorphe par rapport aux $x_{k}^{0}$ et, quand on y fait

$x_{2}^{0}=x_{3}^{0}=\ldots =x_{n}^{0}=0,$

la dérivée ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ admet un zéro simple pour $y_{1}=0$ et les autres dérivées ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{i}}}$ admettent un zéro double.

Pour obtenir une fonction $\mathrm {S}$ dépendant de $n$ constantes arbitraires, je ferai

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{0}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{2}&=\lambda +\varphi _{2}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{4}&=\varphi _{4}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\mathrm {C} _{0}&=\varphi _{6}(x_{2}^{0},\ldots ,x_{n}^{0}),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

J’aurai ainsi une fonction $\mathrm {S}$ contenant les $n$ constantes

$\lambda ,\quad x_{2}^{0},\quad \ldots ,\quad x_{n}^{0}.$

D’après ce que nous avons vu au commencement du numéro précédent, les dérivées de cette fonction $\mathrm {S}$ seront de la forme (α).

Mais il y a plus ; soit

${\frac {\mathrm {A} }{\left({\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{2}y_{2}+p_{3}y_{3}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),$

un terme d’une de ces dérivées mises sous la forme (α) ; je dis que le numérateur $\mathrm {A}$ ne dépend pas de $\lambda .$

Cela tient à ce que les constantes $\mathrm {C} _{4},$ $\mathrm {C} _{6},\,\ldots$ ne dépendent pas de $\lambda .$

Pour démontrer le point en question, convenons, pour abréger le langage, de dire qu’une expression est de la forme (α′) lorsqu’elle est de la forme (α) et que de plus les numérateurs $\mathrm {A}$ sont indépendants de $\lambda .$