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SÉRIES DE M. BOHLIN.

Cas de la libration.

214.Passons au second cas, celui où ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ peut s’annuler et n’est pas toujours réel.

Voyons d’abord, ce qui nous sera d’ailleurs surtout utile dans le numéro suivant, quelle est alors la forme de la fonction $\mathrm {S} ;$ je dis que les dérivées

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}}$

seront de la forme

(α)

$\sum {\frac {\mathrm {A} }{\left({\dfrac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{q}}}{\begin{array}{l}\cos \\\sin \end{array}}\left(p_{2}y_{2}+p_{3}y_{3}+\ldots +p_{n}y_{n}\right),$

$q,\,p_{2},\,p_{3}\,\ldots ,\,p_{n}$ étant des entiers et $\mathrm {A}$ une fonction périodique de $y_{1}$ ne devenant pas infinie.

Il est clair d’abord :

1^o Que la somme ou le produit de deux fonctions de la forme (α) sera encore de la forme (α) ;

2^o Que la dérivée d’une fonction de la forme (α) soit par rapport à $y_{1},$ soit par rapport à $y_{2},$ $y_{3},\,\ldots$ ou $y_{n},$ sera encore de la forme (α).

Supposons donc que les dérivées

${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{i}}}$

soient toutes de la forme (α) et cherchons à démontrer qu’il en sera encore de même des ${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\cdot$

En effet, ces dérivées nous seront données par une équation de la forme

(β)

$\sum _{k=2}^{k=n}n_{k}^{0}\,{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{k}}}=\Phi ,$

$\Phi$ étant une combinaison de fonctions de la forme (α) sera encore