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SÉRIES DE M. BOHLIN.
Cas de la libration.
214.Passons au second cas, celui où
peut s’annuler et n’est
pas toujours réel.
Voyons d’abord, ce qui nous sera d’ailleurs surtout utile dans
le numéro suivant, quelle est alors la forme de la fonction
je
dis que les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{2}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd3bbbf830dce96ff04c2830f235a1cb2f67ee1)
seront de la forme
(α)
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étant des entiers et
une fonction périodique
de
ne devenant pas infinie.
Il est clair d’abord :
1o Que la somme ou le produit de deux fonctions de la forme (α)
sera encore de la forme (α) ;
2o Que la dérivée d’une fonction de la forme (α) soit par rapport
à
soit par rapport à
ou
sera encore de la
forme (α).
Supposons donc que les dérivées
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{i}}},\quad {\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{i}}},\quad \ldots ,\quad {\frac {d\mathrm {S} _{p-1}}{dy_{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff6bf6fa82c8cebc40c78945b680e7499ac97825)
soient toutes de la forme (α) et cherchons à démontrer qu’il en
sera encore de même des ![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}\cdot }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac13974b55bb4762f8c3c3637cb5cfbe65e5f9c0)
En effet, ces dérivées nous seront données par une équation de
la forme
(β)
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étant une combinaison de fonctions de la forme (α) sera encore