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CHAPITRE XX.

Si l’on développe $\beta _{1}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ le premier terme se réduit de même à $x_{1}^{0}.$

Je veux que quand

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}$

se changent en

$w_{1}+2k_{1}\pi ,\quad w_{2}+2k_{2}\pi ,\quad \ldots ,\quad w_{n}+2k_{n}\pi$

les $k_{i}$ étant des entiers, les $x_{i}$ et les $y_{i}$ se changent en

$x_{i}$et$y_{i}+2k_{i}\pi .$

J’obtiendrai ce résultat en faisant

${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {d\beta _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}}\,;&\theta _{k}&={\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}$

Il en résulte que $\theta _{1}$ et les $\theta _{k}$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$ Pour $\mu =0,$ $\beta _{1}$ se réduit à $x_{1}^{0}\,;$ or $x_{1}^{0}$ est lié aux autres $x_{k}^{0}$ par la relation (4) de la page 344 qui, dans le cas qui nous occupe, se réduit à

$n_{1}^{0}=0.$

Donc, pour $\mu =0,$ $\theta _{1}$ et $\theta _{k}$ se réduisent à

${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {dx_{1}^{0}}{d\mathrm {C} _{2}}}=0,&\theta _{k}&={\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}.\end{aligned}}$

Des équations (2) on tirera alors les $y_{i}$ puis les $x_{i}$ sous la forme de fonctions des $w,$ des $x_{0}^{k},$ de $\mathrm {C} _{2}$ et de $\mu$ développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ pour $\mu =0,$ la première et la troisième équation (2) deviennent

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&w_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,w_{k}&=y_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,y_{k}\,;\end{aligned}}$

quant à la seconde, elle se réduirait à $0=0\,;$ mais, si on la divise par ${\sqrt {\mu }}$ et qu’on fasse ensuite $\mu =0,$ elle devient

$\theta _{1}'w_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}},$

$\theta _{1}'{\sqrt {\mu }}$ étant le premier terme du développement de $\theta _{1}.$ Si nous