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CHAPITRE XX.
Si l’on développe
suivant les puissances de
le premier
terme se réduit de même à
Je veux que quand
![{\displaystyle w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472176ebb83ca833013feeb34cad3ea87063af3)
se changent en
![{\displaystyle w_{1}+2k_{1}\pi ,\quad w_{2}+2k_{2}\pi ,\quad \ldots ,\quad w_{n}+2k_{n}\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c19cb655796936192c3150e4ba5a0596048f678)
les
étant des entiers, les
et les
se changent en
et
![{\displaystyle y_{i}+2k_{i}\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b8631095478e40cafb38f02fdb12e05a790a89a)
J’obtiendrai ce résultat en faisant
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {d\beta _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}}\,;&\theta _{k}&={\frac {d\beta _{1}}{dx_{k}^{0}}}\cdot \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03a66d7b8b6f54b2caf82404c1fcd6a99ca75064)
Il en résulte que
et les
sont développables suivant les puissances
de
Pour
se réduit à
or
est lié aux
autres
par la relation (4) de la page 344 qui, dans le cas qui
nous occupe, se réduit à
![{\displaystyle n_{1}^{0}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8312698816da1b5cdf62aade7f4470fdb8a34cc4)
Donc, pour
et
se réduisent à
![{\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {dx_{1}^{0}}{d\mathrm {C} _{2}}}=0,&\theta _{k}&={\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{k}^{0}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2cf64aa493d2d67885f78a33c6b8b3c2e9ee73a)
Des équations (2) on tirera alors les
puis les
sous la forme
de fonctions des
des
de
et de
développables suivant
les puissances de
pour
la première et la troisième équation (2) deviennent
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&w_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,w_{k}&=y_{1}+{\frac {dx_{1}^{0}}{dx_{0}^{k}}}\,y_{k}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/345405b69d2ce0e05b24d779a78d63b8b28621ac)
quant à la seconde, elle se réduirait à
mais, si on la divise
par
et qu’on fasse ensuite
elle devient
![{\displaystyle \theta _{1}'w_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{d\mathrm {C} _{2}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01066c4aa18f6210baf2030b4ba92c1376950cdb)
étant le premier terme du développement de
Si nous