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CHAPITRE XIX.

Voici la signification de ces équations :

Je désigne encore par $\Phi$ toute fonction connue, et je suppose

Dans la troisième	équation (3) que $\mathrm {S} _{0}$ est connu,
Dans la quatrième	équation (3) que $\mathrm {S} _{0}$ et $\mathrm {S} _{1}$ sont connus,
Dans la cinquième	équation (3) que $\mathrm {S} _{0},$ $\mathrm {S} _{1}$ et $\mathrm {S} _{2}$ sont connus.

Le second membre contient tantôt $\Phi ,$ tantôt $\Phi +\mathrm {C} _{2p}$ parce que j’ai supposé que les constantes $\mathrm {C}$ d’indice impair, c’est-à-dire les coefficients des puissances impaires de ${\sqrt {\mu }}$ dans le développement de $\mathrm {C}$ sont nulles.

Il faut encore préciser le sens du signe ${\textstyle \sum }$ dans le second terme du premier membre des diverses équations (3). Ce signe porte sur les deux indices $i$ et $k\,;$ il faut convenir que dans la troisième équation (3), la combinaison $(i,k)$ apparaît deux fois si $i\gtrless k$ et une fois si $i=k,$ et que dans les autres équations (3) cette combinaison apparaît deux fois dans tous les cas.

Je suppose comme plus haut

${\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{i}}}=x_{i}^{0},$

les $x_{i}^{0}$ étant des constantes. Dans les dérivées de $\mathrm {F} _{0}$ qui figurent dans les équations (3), je suppose que les $x_{i}$ ont été remplacés par les $x_{i}^{0}$ de telle sorte que

${\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}=-n_{i}^{0}.$

Je suppose de plus que les $x_{i}^{0}$ aient été choisis de telle sorte que

(4)

${\textstyle \sum }\,m_{i}n_{i}^{0}=0,$

et qu’il n’y ait entre les $n_{i}^{0}$ aucune autre combinaison linéaire à coefficients entiers.

Proposons-nous de déterminer $\mathrm {S}$ de telle façon que les

${\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{i}}}$

soient des fonctions périodiques des $y_{i}.$

La première équation (3) détermine tout simplement $\mathrm {C} _{0}\,;$ la