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CHAPITRE XIX.

tion (40), il viendra

(45)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\eta _{p}}{dy_{k}}}=\Phi +{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{2}}}\zeta _{p-1}.$

Le second membre doit avoir sa valeur moyenne nulle, d’où

$\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{2}}}\zeta _{p-1}\right]={\big [}\Phi {\big ]}$

ou

${\frac {d^{2}[\mathrm {F} _{1}]}{dy_{1}^{2}}}\zeta _{p-1}=\Phi -\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{2}}}\left(\zeta _{p-1}-{\big [}\zeta _{p-1}{\big ]}\right)\right]$

d’où nous tirerons ${\big [}\zeta _{p-1}{\big ]}$ puisque $\zeta _{p-1}-{\big [}\zeta _{p-1}{\big ]}$ est connu. Donc $\zeta _{p-1}$ est désormais connu, et l’équation (45) nous donne

$\eta _{p}-{\big [}\eta _{p}{\big ]}.$

Si nous égalons maintenant les coefficients de $\mu ^{p}$ (42), en tenant compte de (41), il viendra

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\theta _{p}}{dy_{k}}}=\Phi -\mathrm {C} _{p},$

d’où nous tirerons $\theta _{p}.$

Égalant, enfin les coefficients de $\mu ^{p}$ dans la troisième équation (40), nous trouvons une équation analogue à (44)

(46)

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\zeta _{p}}{dy_{k}}}=\Phi -{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}\,\eta _{p}.$

Le second membre doit avoir sa valeur moyenne nulle et cette condition

$\Phi ={\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}\,{\big [}\eta _{p}{\big ]}$

détermine ${\big [}\eta _{p}{\big ]}$ et par conséquent $\eta _{p}.$

L’équation (46) détermine ensuite

$\zeta _{p}-{\big [}\zeta _{p}{\big ]}$

et ainsi de suite.

Nous avons donc pu déterminer des fonctions satisfaisant aux conditions que nous nous étions imposées et nous avons ainsi réalisé une véritable généralisation des solutions périodiques. Seulement, tandis que les séries qui définissent les solutions pério-