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CHAPITRE XIX.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

nous l’écrivions

$\mathrm {C} _{0}+\mathrm {C} _{1}\mu +\mathrm {C} _{2}\mu ^{2}+\ldots ,$

l’équation (42), quand nous y ferons $\mu =0,$ nous donnera

$\mathrm {F} _{0}\left(\eta _{0},{\frac {d\theta _{0}}{dy_{1}}}\right)=\mathrm {C} _{0}.$

Cette équation détermine simplement la constante $\mathrm {C} _{0},$ et nous voyons de plus que

$\theta _{0}=\xi _{2}^{0}y_{2}+\xi _{3}^{0}y_{3}+\ldots +\xi _{n}^{0}y_{n}.$

Nous connaissons maintenant $\eta _{0}$ et $\theta _{0}\,;$ mais, quant à $\zeta _{0},$ nous savons seulement que $\zeta _{0}$ est une constante et par conséquent que

$\zeta _{0}={\big [}\zeta _{0}{\big ]},$

mais nous ne connaissons pas ${\big [}\zeta _{0}{\big ]}.$

Égalons les coefficients de $\mu$ dans la première équation (40), il viendra, si l’on se rappelle que $\eta _{0}$ est une constante,

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\,{\frac {d\eta _{1}}{dy_{k}}}={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}}}\cdot$

Dans le second membre $y_{1},$ $x_{1}$ et les $x_{i}$ sont supposés remplacés par $\zeta _{0},$ $\eta _{0}$ et les $\xi _{i}^{0}\,;$ ce second membre sera une fonction périodique de $y_{2},$ $y_{3},$ $\ldots ,\,y_{n},$ et sa valeur moyenne, puisque $\zeta _{0},$ $\eta _{0},$ $\xi _{i}^{0}$ sont des constantes, sera

$\left[{\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}}}\right]={\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dy_{1}}}\cdot$

Cette valeur moyenne doit être nulle, ce qui donne une équation

${\frac {d[\mathrm {F} _{1}]}{dy_{1}}}=0$

qui détermine la constante $\zeta _{0}.$

Il reste alors

${\textstyle \sum }\,n_{k}^{0}\;{\frac {d\eta _{1}}{dy_{k}}}=\Phi ,$

$\Phi$ étant une fonction périodique connue dont la valeur moyenne