Page:Henri Poincaré - Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste, Tome 2, 1893.djvu/384

370

CHAPITRE XIX.

d’où

$x_{2}=x_{2}'+\theta _{2}+y_{1}'\,{\frac {d\theta _{1}}{dy_{2}}}-x_{1}'\,{\frac {d\theta _{3}}{dy_{2}}}\cdot$

Quelle sera la forme de la fonction $\mathrm {F}$ exprimée à l’aide des nouvelles variables ?

Observons d’abord que $\theta _{1},$ $\theta _{2}$ et $\theta _{3}$ sont, en vertu des n^os 42 à 44, développables suivant les puissances croissantes de $\mu$ et que, pour $\mu =0,$ elles se réduisent à des constantes

$x_{1}^{0},\quad x_{2}^{0}$et$0.$

On voit ainsi que $x_{1},$ $y_{1}$ et $x_{2}$ sont des fonctions de $x_{1}',$ $x_{2}',$ $y_{1}'$ et $y_{2}'$ et de $\mu ,$ développables suivant les puissances de $\mu$ et périodiques par rapport à $y_{2}'.$ Pour $\mu =0,$ elles se réduisent à

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}'+x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}'+x_{2}^{0},&y_{1}&=y_{1}'.\end{aligned}}$

Donc $\mathrm {F}$ conserve la même forme quand on l’exprime en fonction des variables nouvelles : je veux dire que $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de $\mu ,$ et périodique par rapport à $y_{2}',$ mais $\mathrm {F}$ n’est pas périodique par rapport à $y_{1}'.$

Les nouvelles équations canoniques

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}'}},&{\frac {dy_{i}'}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}'}},\end{aligned}}$

admettent évidemment pour solution

$x_{1}'=0,\qquad x_{2}'=0,\qquad y_{1}'=0,$

puisque les anciennes admettaient

$x_{1}=\theta _{1},\qquad x_{2}=\theta _{2},\qquad y_{1}=\theta _{3}.$

Nous en concluons que les trois dérivées

${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dy_{2}'}},\quad {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}'}}$

s’annulent à la fois quand on y fait

$x_{1}'=x_{2}'=y_{1}'=0.$

D’autre part, quand on fait $x_{1}'=x_{2}'=y_{1}'=0,$ $\mathrm {F}$ se réduit à une