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CHAPITRE XIX.

pas convergentes. Les équations (24) ne sont donc vraies qu’au point de vue du calcul formel. Écrivons donc ces équations de nouveau, mais en nous arrêtant aux termes en $\mu ^{\frac {p}{2}}\,;$ il viendra

(24 bis)

$\left\{{\begin{aligned}y_{1}&=\theta _{0}(v_{1})+\mu ^{\frac {1}{2}}\theta _{1}(v_{1})+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\theta _{p}(v_{1}),\\x_{1}&=\zeta _{1}^{0}(v_{1})+\mu ^{\frac {1}{2}}\zeta _{1}^{1}(v_{1})+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}\zeta _{1}^{p}(v_{1}),\end{aligned}}\right.$

Les équations (24 bis) définissent évidemment une courbe fermée. Supposons qu’éliminant $v_{1}$ entre ces deux équations on les résolve par rapport à $x_{1},$ il viendra

(25)

$x_{1}=\mathrm {P} _{0}+\mu ^{\frac {1}{2}}\mathrm {P} _{1}+\ldots +\mu ^{\frac {q}{2}}\mathrm {P} _{q}+\ldots .$

$\mathrm {P} _{0},\,\mathrm {P} _{1},\,\ldots ,\,\mathrm {P} _{q},\,\ldots$ sont des fonctions de $y_{1}\,;$ le second membre de (25) est une série indéfinie, mais convergente ; et l’équation (25) est celle d’une courbe fermée.

En vertu des principes du calcul formel, la valeur de $x_{1}$ ainsi obtenue ne peut différer de ${\frac {d\mathrm {S} }{dy_{1}}}$ que de quantités de l’ordre de $\mu ^{\frac {p+1}{2}};$ nous aurons donc

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{0}&={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}},&\mathrm {P} _{1}&={\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}},&&\ldots ,&\mathrm {P} _{p}&={\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}},\end{aligned}}$

mais nous n’aurons pas

$\mathrm {P} _{p+1}={\frac {d\mathrm {S} _{p+1}}{dy_{1}}}\cdot$

Maintenant la courbe

(26)

$x_{1}={\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dy_{1}}}+\mu ^{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}+\ldots +\mu ^{\frac {p}{2}}{\frac {d\mathrm {S} _{p}}{dy_{1}}}$

est-elle une courbe fermée ?

Reportons-nous à l’équation (15). Comme, dans le cas de la libration, ${\frac {d\mathrm {S} _{1}}{dy_{1}}}$ s’annule pour deux valeurs différentes de $y_{1},$ on peut se demander si ${\frac {d{\big [}\mathrm {S} _{2}{\big ]}}{dy_{1}}}$ et par conséquent ${\frac {d\mathrm {S} _{2}}{dy_{1}}}$ ne pourront pas