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CHAPITRE XIX.

et

(22)

$x_{k}={\frac {d\mathrm {S} }{dy_{k}}}$

sont identiques pourvu que $\mathrm {V}$ satisfasse à l’équation aux dérivées partielles

(23)

$\mathrm {F} ^{\star }\left({\frac {d\mathrm {V} }{dv_{1}}},{\frac {d\mathrm {V} }{dz_{i}}},v_{1},z_{i}\right)=\mathrm {const.} ,$

et à la condition que ses dérivées soient périodiques par rapport a $v_{1}$ et aux $z_{i},$ et que $\mathrm {S}$ soit définie comme au numéro précédent.

$\mathrm {V}$ est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et s’écrit

$\mathrm {V} =\mathrm {V} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {V} _{1}+\mu \,\mathrm {V} _{2}+\ldots .$

Chacune des fonctions $\mathrm {V} _{i}$ peut s’écrire

$\mathrm {V} _{i}=\beta _{i}^{1}v_{1}+\beta _{i}^{2}z_{2}+\ldots +\beta _{i}^{n}z_{n}+\mathrm {V} _{i}',$

$\mathrm {V} _{i}'$ étant périodique et les $n$ constantes $\beta _{i}^{k}$ analogues aux constantes $\alpha _{i.k}$ du n^o 125 peuvent comme celles-ci être choisies arbitrairement. On a de même

$\mathrm {S} =\mathrm {S} _{0}+{\sqrt {\mu }}\,\mathrm {S} _{1}+\ldots$

et nous avons vu que $\mathrm {S} _{p}$ dépend encore des constantes arbitraires que nous avons appelées plus haut $\alpha _{i}^{p}.$

Pour que les deux systèmes (21) et (22) soient identiques, il faut, bien entendu, si l’on a donné aux constantes $\beta _{i}^{k}$ des valeurs déterminées, que l’on donne aux constantes $\alpha _{i}^{p}$ des valeurs correspondantes et inversement.

À chaque fonction $\mathrm {V}$ correspond ainsi une fonction $\mathrm {S}$ et réciproquement.

Mais, dans les numéros précédents, nous avons imposé à nos constantes $\alpha _{i}^{p}$ et par conséquent à $\mathrm {S}$ certaines conditions qui sont les hypothèses (9) et (10). Si l’on veut y demeurer astreint, il faut donc que les constantes $\beta _{i}^{k}$ satisfassent de leur côté à certaines conditions qu’il serait aisé de former. Je dirai seulement que les $x_{i}'$ doivent s’annuler avec ${\sqrt {\mu }}.$

Les équations (21) et (22) nous permettant d’exprimer toutes