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MÉTHODES DE MM. NEWCOMB ET LINDSTEDT.

ces séries ; voyons quelle est la forme des $x_{i}^{k}$ et des $y_{i}^{k}.$ Pour $\mu =0,$ $\mathrm {S}$ se réduit à

\mathrm {S} _{0}=x_{1}^{0}y_{1}+x_{2}^{0}y_{2}+\dots +x_{n}^{0}y_{n},

et il vient par conséquent

x_{i}=x_{i}^{0},\qquad y_{i}=w_{i}

Ainsi le premier terme du développement de $x_{i}$ est une constante et le premier terme du développement de $y_{i}$ (c’est-à-dire $y_{i}^{0}$ ) se réduit à

w_{i}=n_{i}t+\varpi _{i}.

Si, au lieu de tirer les $x_{i}$ et les $y_{i}$ des équations (8), nous les avions tirées des équations (7), les $p+1$ premiers termes auraient été les mêmes, puisque la différence $\mathrm {S} -\Sigma _{p}$ est de l’ordre de $\mu ^{p+1}.$

Pour déterminer les quantités

x_{i}^{k},\quad y_{i}^{k}\quad (i=1,\,2,\,\dots ,\,n\,;\;k=0,\,1,\,2,\,\dots ,\,p),

envisageons donc les équations (7) que nous écrirons sous la forme suivante

(7 bis)

{\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+{\frac {d(\Sigma _{p}-\mathrm {S} _{0})}{dy_{i}}},&y_{i}&=w_{i}+{\frac {d(\Sigma _{p}-\mathrm {S} _{0})}{dx_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}

Nous pouvons tirer des équations (7 bis) les $x_{i}$ et les $y_{i}$ en séries ordonnées suivant les puissances de $\mu$ et convergentes si $\mu$ est assez petit ; il nous suffit pour cela d’appliquer le théorème du n^o 30, puisque $\Sigma _{p}-S_{0}$ représente une fonction complètement définie et n’est pas une simple expression formelle.

Nous avons supposé que les quantités $\alpha _{ki}$ sont nulles ; il en résultera que les $\mathrm {S} _{k}\;(k>0)$ et par conséquent $\Sigma _{p}-S_{0}$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}.$

Si donc dans les équations (7 bis) on change $y_{i}$ en $y_{i}+2k_{i}\pi$ et $w_{i}$ en $w_{i}+2k_{i}\pi$ ( $k_{1},$ $k_{2},$ $\dots ,$ $k_{n}$ étant des entiers), ces équations ne changeront pas. Donc les valeurs de $x_{i}$ et de $y_{i}-w_{i}$ tirées de ces équations sont périodiques, de période $2\pi$ par rapport aux $w.$

Donc dans les séries (2) les quantités $x_{i}^{k}$ et $y_{i}^{k}$ sont des fonctions périodiques de période $2\pi$ par rapport aux $w_{i}.$