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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

J’y adjoindrai les suivantes (où les $x_{i}'$ sont des constantes)

${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{i}}}=x_{i}'\quad (i=2,\,3,\,\ldots ,\,n).$

Il importe de remarquer qu’en faisant cette dernière hypothèse je définirai $\mathrm {T} _{1}$ comme j’ai fait plus haut pour $\mathrm {S} _{1},$ mais en m’écartant des hypothèses (9) qui exigeraient que les constantes $x_{i}'$ fussent nulles.

Comme les coefficients ${\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}$ ne dépendent que des $x_{i}^{0},$ ce sont des constantes ; si donc je remplace les ${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{i}}}$ par les $x_{i}',$ l’équation (7 bis) deviendra

(8 ter)

$\mathrm {A} \left({\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}+2\mathrm {B} \,{\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{1}}}+\mathrm {D} =\mathrm {C} _{2}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]},$

où $\mathrm {A}$ est une constante, $\mathrm {B}$ et $\mathrm {D}$ deux polynômes homogènes par rapport aux $x_{i}',$ le premier du premier degré, le second du second degré. Nous tirerons de là

${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{1}}}=-{\frac {\mathrm {B} }{\mathrm {A} }}\pm {\sqrt {{\frac {\mathrm {B} ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}-{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {C} _{2}}{\mathrm {A} }}-{\frac {[\mathrm {F} _{1}]}{\mathrm {A} }}}}\cdot$

Je poserai

${\frac {\mathrm {B} ^{2}}{\mathrm {A} ^{2}}}-{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {A} }}+{\frac {\mathrm {C} _{2}}{\mathrm {A} }}=x_{1}',$

et pour abréger l’écriture

${\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]}=\mathrm {A} \,\psi ,$

d’où

$\mathrm {T} _{1}=x_{2}'y_{2}+x_{3}'y_{3}+\ldots +x_{n}'y_{n}-{\frac {\mathrm {B} y_{1}}{\mathrm {A} }}+\int dy_{1}\,{\sqrt {x_{1}'-\psi }}.$

Nous déterminerons ensuite $\mathrm {T} _{2}$ par l’équation

${\textstyle \sum }\,n_{i}^{0}\,{\frac {d\mathrm {T} _{2}}{dy_{i}}}=\mathrm {F} _{1}-{\big [}\mathrm {F} _{1}{\big ]},$

analogue à l’équation (11) du n^o 204.

Cette équation détermine $\mathrm {T} _{2},$ comme nous l’avons vu, à une fonction arbitraire près de $y_{1}\,;$ nous pourrions, sans inconvénient, faire