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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

203.Il est aisé maintenant de comprendre l’esprit de la méthode de Delaunay.

Reprenons le cas général des équations de la Dynamique ; et supposons par conséquent que notre fonction

$\mathrm {F} =\mathrm {F} _{0}+\mu \,\mathrm {F} _{1}+\mu ^{2}\mathrm {F} _{2}+\ldots$

dépend non plus seulement de $m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n},$ mais des $n$ arguments $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}$ et qu’elle est d’ailleurs périodique par rapport à ces arguments.

Si aucune des combinaisons linéaires à coefficients entiers

$m_{1}n_{1}^{0}+m_{2}n_{2}^{0}+\ldots +m_{n}n_{n}^{0}$

n’est très petite, les méthodes du n^o 125 pourront s’appliquer sans difficulté ; mais, si l’une de ces combinaisons est très petite, on distinguera dans $\mathrm {F}$ les termes qui dépendent de l’argument

$m_{1}y_{1}+m_{2}y_{2}+\ldots +m_{n}y_{n}.$

$\mathrm {F}$ est supposé développé en série trigonométrique, c’est-à-dire en une suite de termes dont chacun est le produit de

$\cos(p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n})$

ou de

$\sin(p_{1}y_{1}+p_{2}y_{2}+\ldots +p_{n}y_{n})$

(les $p$ étant des entiers), par un coefficient qui est une fonction de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,\,x_{n}.$

Considérons l’ensemble de ces termes qui sont tels que

${\frac {p_{1}}{m_{1}}}={\frac {p_{2}}{m_{2}}}=\ldots ={\frac {p_{n}}{m_{n}}},$

et soit

$\mathrm {F} '=\mathrm {F} _{0}'+\mu \,\mathrm {F} _{1}'+\ldots$

l’ensemble de ces termes.

Ils comprendront en particulier tous les termes de $\mathrm {F}$ qui sont indépendants de $y_{1},$ $y_{2},$ $\ldots ,\,y_{n}$ et par exemple tous ceux de $\mathrm {F} _{0},$ de sorte qu’on aura

$\mathrm {F} _{0}'=\mathrm {F} _{0}.$