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MÉTHODES DE M. BOHLIN.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Il vient

$\mathrm {S} _{0}(n_{1}^{0})=\mathrm {S} _{0}\left(\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{2}\mu +\ldots \right)=\mathrm {T} _{0}+{\frac {d\mathrm {S} _{0}}{dn_{1}^{0}}}{\sqrt {\mu }}\,\alpha _{1}+\ldots$

ou

$\mathrm {S} _{0}(n_{1}^{0})=\mathrm {T} _{0}+\alpha _{1}\,{\frac {dx_{1}^{0}}{dn_{1}^{0}}}\,y_{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots =\mathrm {T} _{0}-{\frac {\alpha _{1}{\sqrt {\mu }}}{\mathrm {F} _{0}''}}\,y_{1}+\ldots ,$

$\mathrm {F} _{0}''$ ayant la même signification que dans les équations (4) du numéro précédent.

D’autre part, nous aurons dans $\mathrm {T} _{1}$ des termes provenant de $\mathrm {S} _{1},$ $\mathrm {S} _{2},\,\ldots \,;$ on les obtiendra comme il suit.

Dans le développement (3) nous prendrons tous les termes en

${\frac {\mu ^{p}}{(n_{1}^{0})^{2p-1}}}\cdot$

Soit

(5)

$\mathrm {S} _{1}'\,{\frac {\mu }{n_{1}^{0}}}+\mathrm {S} _{2}'\,{\frac {\mu ^{2}}{(n_{1}^{0})^{3}}}+\mathrm {S} _{3}'\,{\frac {\mu ^{3}}{(n_{1}^{0})^{5}}}+\ldots ,$

l’ensemble de ces termes.

On aura alors

$\mathrm {T} _{1}=-{\frac {\alpha _{1}y_{1}}{\mathrm {F} _{0}''}}+{\frac {\mathrm {S} _{1}'}{\alpha _{1}}}+{\frac {\mathrm {S} _{2}'}{\alpha _{1}^{3}}}+{\frac {\mathrm {S} _{3}'}{\alpha _{1}^{5}}}+\ldots$

Il en résulte que, si l’on groupe dans le développement (3) tous les termes en ${\frac {\mu ^{p}}{(x_{1}^{0})^{2p-1}}},$ c’est-à-dire tous ceux qui appartiennent au développement (5) et qu’on forme le carré de

${\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{1}}}=-{\frac {\alpha _{1}}{\mathrm {F} _{0}''}}+{\frac {1}{\alpha _{1}}}{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy_{1}}}+{\frac {1}{\alpha _{1}^{3}}}{\frac {d\mathrm {S} _{2}'}{dy_{1}}}+\ldots ,$

ce carré se réduira à deux termes

$\left({\frac {d\mathrm {T} _{1}}{dy_{1}}}\right)^{2}={\frac {\alpha _{1}^{2}}{\mathrm {F} _{0}''^{2}}}-{\frac {2}{\mathrm {F} _{0}''^{2}}}\,{\frac {d\mathrm {S} _{1}'}{dy_{1}}}\cdot$

C’est là un fait d’autant plus remarquable qu’il peut s’étendre, comme nous le verrons bientôt, à toutes les équations de la Dynamique.

Pour obtenir $\mathrm {T} _{2}$ il faudra tenir compte non seulement de $\mathrm {S} _{0}$ et