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CHAPITRE XIX.
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/OOjs_UI_icon_info-progressive.svg/40px-OOjs_UI_icon_info-progressive.svg.png) | Le numéro d’équation (5) est dupliqué… |
Cette équation, en regardant
et
comme les coordonnées d’un
point, représente une courbe. Écrivons que cette courbe a un point
double ; il viendra
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {F} }{dx_{1}}}={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{1}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45fd49bc4dd7b21d9617f844a943d775d103e396)
ce que je puis écrire encore
(5)
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puisque
ne dépend pas de ![{\displaystyle y_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77980ab892b099a782ffcffee3c0a7addf130dde)
Résolvons ces équations (5) par rapport à
et à
Pour
on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&y_{1}&=y_{1}^{0}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9bafc27fc6380503c4b9151354c1b47a077254)
Le déterminant fonctionnel des équations (5) pour
s’écrit
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{1}^{2}}}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{1}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d79b069dfa0568faa87f19a5732cf0b27aeb85)
et, en général, il n’est pas nul. On pourra donc résoudre les
équations (5) et l’on trouvera que
et
sont développables
suivant les puissances de
Soient alors
![{\displaystyle x_{1}=\alpha ,\qquad y_{1}=\beta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ba35dd4f479dd9ab49ff373e2fef1367c19fa3b)
les développements ainsi obtenus ; l’expression
![{\displaystyle \mathrm {F} (\alpha ,\beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc0fd1bc5c4e53ad6d9784f91b3e4673e4a432a9)
est évidemment développable suivant les puissances de
Soit alors
(6)
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ce développement. Je dis que, si l’on donne dans les équations (4)
aux constantes
les valeurs tirées du développement (6), les
fonctions
resteront finies.