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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

Cet esprit, d’ailleurs, peut se résumer d’un mot. Si un terme quelconque devient très grand et rend la convergence lente, on en tient compte dès la première approximation.

Généralisation des solutions périodiques.

198.A la théorie des équations que nous avons étudiées dans ce Chapitre se rattache une proposition dont M. Gyldén, sans l’énoncer expressément, a fait quelquefois usage. Je ne puis la passer sous silence.

Considérons l’équation suivante

(1)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\alpha x=\mu \,f(x,t,\mu ).$

$\alpha$ est une constante quelconque ; $\mu$ est un paramètre très petit ; $f$ est une fonction de $x,\,t$ et $\mu$ développable suivant les puissances de $x$ et de $\mu$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de $n$ arguments

$\lambda _{1}t,\quad \lambda _{2}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.$

S’il n’y avait qu’un seul argument $\lambda _{1}t,$ la fonction $f$ serait une fonction périodique de $t$ de période ${\frac {2\pi }{\lambda _{1}}}\cdot$ L’équation (1) admettrait alors une solution périodique de même période. Et en effet, pour $\mu =0,$ cette équation, quelle que soit la constante $\alpha ,$ admettra évidemment une solution périodique qui sera

$x=0.$

Donc, en vertu des principes du Chapitre III, elle en admettra encore une pour les petites valeurs de $\mu .$

Ce résultat peut-il se généraliser pour le cas où $f$ contient $n$ arguments différents

$\lambda _{1}t,\quad \lambda _{2}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t\,?$

L’équation (1) admet-elle alors une solution de la forme suivante

(2)

$x=x_{1}\mu +x_{2}\mu +x_{3}\mu +\ldots ,$