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CAS DES ÉQUATIONS NON LINÉAIRES.

Nous nous proposons d’intégrer formellement ces équations sous la forme suivante ; nos variables devront être développées suivant les puissances de $\alpha$ et les coefficients seront des fonctions périodiques de période $2\pi$ de $n$ paramètres

$w,\quad w_{2},\quad w_{3},\quad \ldots ,\quad w_{n},$

avec

${\begin{aligned}w&=ht+\varpi _{1},&w_{i}&=h_{i}t+\varpi _{i}.\end{aligned}}$

Il faudra d’ailleurs évidemment, comme au n^o 194, faire

${\begin{aligned}h_{i}&=\lambda _{i},&\varpi _{i}&=0,&y_{i}&=w_{i}.\end{aligned}}$

Quant au nombre $h,$ il sera développable suivant les puissances de $\alpha .$

Les résultats du n^o 193 peuvent se résumer comme il suit. Si un pareil problème est possible pour $\alpha =0,$ il sera encore possible quand on ne supposera plus $\alpha$ nul.

Or, si nous faisons $\alpha =0,$ notre équation se réduit à

(5)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+f(x)=0.$

Elle s’intègre très aisément par quadratures, et l’on trouve

${\begin{aligned}x&=\omega (w),&y&=h\,\omega '(w),&w&=ht+\varpi _{1},\\[0.75ex]&&y_{i}&=w_{i}=\lambda _{i}t.\end{aligned}}$

$\varpi$ et $\varpi '$ sont des fonctions de $w$ et d’une constante d’intégration $\beta \,;$ elles sont périodiques de période $2\pi$ par rapport à $w\,;$ le nombre $h$ est une fonction de $\beta ,$ et $\varpi _{1}$ est une nouvelle constante d’intégration.

Le problème que nous nous sommes proposé, étant possible pour $\alpha =0,$ le sera encore pour $\alpha \gtrless 0.$

Il reste à le résoudre effectivement.

Pour cela je récris l’équation (2), en mettant en évidence ce fait que $x$ dépend de $t$ d’abord directement et en outre par l’intermédiaire de $w.$ Je suis ainsi une méthode tout à fait pareille à celle du n^o 192.