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CHAPITRE XVIII.

les $n_{i}$ étant des constantes développables suivant les puissances de $\mu$ et les $\varpi _{i}'$ des constantes arbitraires.

Les $x_{i}'^{k}$ et les $y_{i}'^{k}$ seront périodiques par rapport aux $w_{i},$ à l’exception de $y_{i}'^{0}$ qui se réduira à $w_{i}\,;$ j’ajoute que $x_{i}'^{0}$ est une constante.

Nous n’avons plus qu’à substituer ces valeurs de $x_{i}'$ et $y_{i}'$ dans les équations qui donnent les variables anciennes en fonctions de ces variables nouvelles $x_{i}'$ et $y_{i}',$ et nous verrons ainsi qu’on peut satisfaire formellement aux équations (5) de la façon suivante :

Les $x_{i}$ et les $y_{i}$ seront développables suivant les puissances de $\mu ,$ sous la forme

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+\mu x_{i}^{1}+\ldots ,\\y_{i}&=y_{i}^{0}+\mu y_{i}^{1}+\ldots .\end{aligned}}$

Les $x_{i}^{k}$ et les $y_{i}^{k}$ seront périodiques par rapport aux $w_{i},$ à l’exception de $y_{i}^{0}\,;$ mais $y_{i}^{0}-w_{i}$ sera périodique ; il n’arrivera pas toutefois que $x_{i}^{0}$ se réduira à une constante et $y_{i}^{0}$ à $w_{i}.$

194.Appliquons ces principes à l’équation (1) du n^o 191, que j’écrirai ainsi en lui donnant un nouveau numéro Cherchons à la ramener à la forme canonique.

(6)

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+x(q^{2}-q_{1}\cos 2t)=\alpha \varphi (x,t).$

Cherchons à la ramener à la forme canonique.

Soit $\psi$ une fonction de $x$ et de $t$ telle que

$\varphi (x,t)={\frac {d\psi }{dx}}\cdot$

$\varphi$ sera, comme $\psi ,$ développable suivant les puissances de $x$ et suivant les sinus et les cosinus des multiples de

$2t,\quad \lambda _{3}t,\quad \lambda _{4}t,\quad \ldots ,\quad \lambda _{n}t.$

Posons pour plus de symétrie

$2=\lambda _{2}.$

Posons ensuite

${\begin{aligned}y&={\frac {dx}{dt}},&y_{i}&=\lambda _{i}t&(i&=2,\,3,\,\ldots ,n),\end{aligned}}$